Donatella Iacono

Esercitazioni di Geometria 2, 2020/2021

Corso di Laurea in Matematica. Docente del Corso Prof.aas G. Dileo.

Ricevimento

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Testi consigliati

E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.

Tutorato

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Esami

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Esercizi

Esercizi 2 Marzo 2021 (alcuni visti a lezione su prodotto scalare e matrici)

Esercizi 4 Marzo 2021 (alcuni visti a lezione su prodotto scalare e vettori ortogonali)

Esercizi 10 Marzo 2021 (alcuni visti a lezione su procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt)

Esercizi 17 Marzo 2021 (alcuni visti a lezione su complemento ortogonale e operatori aggiunti)

Esercizi 23 Marzo 2021 (alcuni visti a lezione su operatori aggiunti)

Esercizi 30 Marzo 2021 (alcuni visti a lezione su spazi affini)

Esercizi 7 Aprile 2021 (alcuni visti a lezione su spazi affini e piano euclideo)

Esercizi 15 Aprile 2021 (alcuni visti a lezione su circonferenze nel piano euclideo e sullo spazio euclideo di dimensione 3)

Esercizi 22 Aprile 2021 (alcuni visti a lezione su distanza e sfere in uno spazio euclideo di dimensione 3)

Esercizi 28 Aprile 2021 (alcuni visti a lezione su sfere, circonferenze, coni e cilindri in uno spazio euclideo di dimensione 3)

Esercizi su affinità e isometrie, a cura della Prof.ssa G. Dileo

Raccolta tracce 2019/2020: Esami di Geometria 2 e 1-2 A.A. 2019/2020.

Altri esercizi si trovano sulla pagina del Tutorato.

Diario delle Lezioni

24.02.2021 (2h ): Ripasso definizione di Matrice quadrata M n(K). Gruppo Generale Lineare delle matrici invertibili GL(n,K). Sottogruppo delle matrici a determinante positivo GL+(n,R). Gruppo speciale lineare SL(n,K). Gruppo delle matrici ortogonali O(n,K). Determinante di matrici ortogonali. Gruppo speciale ortogonale SO(n,K). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R).

02.03.2021 (+2h=4h ): Prodotto scalare su uno spazio vettoriale Euclideo. Spazi vettoriali Euclidei: definizioni, esempi, esercizi. Prodotto scalare standard sullo spazio vettoriale prodotto di R^n. Matrice associata al prodotto scalare rispetto ad una base e relazione con il cambiamento di base. Esempi ed Esercizi sui prodotti scalari, sui prodotti scalari associati a matrici. Minori principali di una matrice. Matrici simmetriche. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive con i minori principali (senza dim.). Relazione tra matrici simmetriche definite positive e prodotti scalari. Esempi ed Esercizi. Matrici definite positive al variare di un parametro: Esempi e Esercizi.

03.03.2021 (+2h=6h ): Teorema della disuguaglianza di Schwartz (con dim.). Norma di un vettore. Esempi. Proprietà della norma (con dim.) Versori: vettori di norma 1. Normalizzazione di un vettore non nullo. Angolo convesso tra due vettori non nulli. Esempi. Vettori ortogonali: definizioni proprietà ed esempi. Sistemi di vettori ortogonali e ortonormali. Basi ortogonali e ortonormali. I sistemi di vettori ortogonali sono linearmente indipendenti (con dim.). Normalizzazione di una base ortogonale. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale in una base ortonormale e prodotto scalare standard. Matrice cambiamento basi ortonormali è ortogonale (con dim.). Esempi ed esercizi su prodotti scalari, vettori ortogonali e ortonormali.

9.03.2021 (+1h=7h ): Coefficiente di Fourier. Teorema: Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (con dim). Esempi ed Esercizi in R^2.

10.03.2021 (+2h=9h ): Esercizi sul procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt rispetto al prodotto scalare standard e ad un prodotto scalare qualsiasi. Ortonormalizzazione di una base rispetto ad un prodotto scalare. Basi contenenti un vettore dato ortogonlai rispetto al prodotto scalare standard e ad un prodotto scalare qualsiasi. Definizione di complemento ortogonale. Proprietà (con dim). Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Esercizio su complemento ortogonale e proiezione ortogonale.

16.03.2021 (+1h=10h ): Esercizi su complemento ortogonale e proiezione ortogonale, rispetto a prodotto scalare standard e rispetto ad un prodotto scalare qualsiasi. Operatori autoaggiunti o simmetrici: definizione. Caratterizzazione degli operatori autoaggiunti con gli elementi di una base (con dim.).

17.03.2021 (+2h=12h ): Ripasso definizione operatori autoaggiunti: Matrice simmetriche associata ad un operatore autoaggiunto rispetto ad una base ortonormale (con dim.). Esempi ed esercizi. Le matrici simmetriche hanno tutti autovalori reali (con dim.). Teorema spettrale (con dim.). Teorema spettrale per matrici (con dim.). Esercizi su operatori autoaggiunti rispetto al prodotto scalare standard e base ortonormali di autovettori.

23.03.2021 (+2h=14h ): Esercizi su operatori autoaggiunti rispetto al prodotto scalare standard e rispetto ad un prodotto scalare qualsiasi. Esercizio su diagonalizzazione di matrice simmetrica. Operatori unitari: definizione. Caratterizzazione degli operatori unitari con le basi ortonormali (con dim.). Matrice ortogonali associata ad un operatore unitario rispetto ad una base ortonormale (con dim.). Teorema di caratterizzazione degli operatori unitari (con dim.).

24.03.2021 (+2h=16h ): Ripasso operatori unitari. Teorema di caratterizzazione degli operatori unitari (con dim.). Gli operatori unitari sono isomorfismi (con dim.). Operatori unitari e angoli tra vettori non nulli. L'insieme degli operatori unitari è un gruppo (con dim.). Operatori unitar in R^2. Autovalori degli operatori unitari (con dim.). Esempio di operatore unitario: riflessione rispetto ad un sottospazio. Esercizi: Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini definiti da un punto e dalla giacitura. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente.

30. 03.2021 (+2h=18h ): Esercizi: equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente. Equazione parametriche e cartesiane di piani per un punto e una retta. Piano affine: equazione parametriche e cartesiane di rette passanti per due punti, passanti per un punto e parallele ad una retta data, fasci di rette. Nello spazio affine: equazione parametriche e cartesiane di intersezioni di piani.

07. 04.2021 (+2h=20h ): Esercizi nello spazio affine di dimensione 3 su piani e rette. Equazione parametriche e cartesiane di un piano per un punto e parallelo ad un piano; per due punti e parallelo ad una retta. Esercizi nel piano euclideo: distanza tra due punti, angolo orientato tra rette, rette ortogonali, proiezioni ortogonali. Formula distanza punto retta. Distanza tra rette parallele. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto. Simmetrico di un punto rispetto ad una retta. Simmetrico di una retta rispetto ad un punto.

13. 04.2021 (+1h=21h ): Esercizi nel piano euclideo: Simmetrico di una retta rispetto ad una retta. Asse di un segmento, bisettrici tra rette, rette con distanze fissate.

14. 04.2021 (+2h=23h ): Circonferenza: definizione, centro, raggio, equazione, proprietà, circonferenze e rette. Circonferenza per tre punti, tangenti ad una retta in un punto e passanti per un altro punto, tangenti ad una retta in un punto e con centro su un altra retta o a distanza fissata da una retta, tangenti a due rette e con centro su una retta. Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta ortogonale ad un piano passante per un punto, piano ortogonale ad una retta passante per un punto, retta contenuta in un piano e incidente ad una retta e ortogonale ad un altra retta, retta per un punto e parallela ad un piano e formante un angolo dato con una retta.

20.04.2021 (+1=24h): Distanze nello spazio euclideo tridimensionale: distanza tra punti, distanza punto piano, distanza tra piani, distanza punto retta, distanza retta piano. Esercizi su distanza: retta parallela ad una retta data, incidente una retta e a distanza fissata da un punto; retta incidente due rette date e a distanza fissata da un piano.

21.04.2021 (+2=26h): Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta incidente due rette date e a distanza fissata da un piano. Distanze nello spazio euclideo tridimensionale tra rette. Esercizi su distanza: distanza e retta di minima distanza tra rette, retta passante per un punto, parallela ad un piano e di distanza fissata da una retta. Sfera : definizione, centro, raggio, equazione, proprietà. Posizione reciproca tra sfera e rette e tra sfera e piani. Esercizi: Sfera tangente ad un piano in un punto con centro su un piano, sfera tangenta ad una retta in un punto con centro su una retta.

27.04.2021 (+2=28h): Esercizi: Sfera tangenta ad una retta in un punto con centro su una retta, sfera tangente a due rette in due punti dati, sfera tangente ad un piano in un punto e passante per un punto. CIRCONFERENZA nello spazio euclideo di dimensione 3: definizione, centro, raggio, proprietà, retta tangente. Esercizi: centro e raggio della circonferenza, retta tangente in un punto; sfera contenente una circonferenza passante per un punto, circonferenza tangente ad una retta in un punto e con centro su una retta.

28.04.2021 (+2=30h): Esercizi: Circonferenza tangente ad una retta in un punto e con centro su una retta; circonferenza tangente ad una retta in un punto e passante per un punto. Superfici di rotazione: definizione di superficie algebrica nello spazio euclideo di dimensione 3. CONO circolare retto: definizione, paralleli o direttrice, generatrici, asse, vertice. CILINDRO circolare retto: definizione, paralleli o direttrice, generatrici, asse. Esercizi su coni e cilindri: conoscendo direttrice, vertice, generatrice, passaggio per un punto. That's it.

DONATELLA IACONO