Geometria Algebrica 2024/2025
Corso di Laurea in Matematica.
Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.
Inizio lezioni : secondo semestre 2024/2025
Inizio lezioni Lunedi 26 Febbraio 2024 alle ore 13:30 in Aula XI. Orario Lunedi 13:30-16:30 Aula XI e Giovedi 8:30-10:30 Aula XI.
Ricevimento
Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.
Programma
Programma provvisorio del corso dell'anno 2024-2025 (Il programma deifnitivo in dettaglio e' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)
Testi consigliati
Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:
Per il ripasso di topologia e spazi proiettivi: E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri or M. Manetti: "Topologia" ("topology" english version), Springer
Per il ripasso di anelli e ideali: Atiyah-Macdonald: "Introduzione all'algebra commutativa",("Introduction to commutative algebra" english version)
W. Fulton: Algebraic Curves. An introduction to Algebraic geometry.
M. Manetti: Geometria Algebrica.
M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry.
Diario delle Lezioni
- 03.03.2025 (3h) : Presentazione corso e programma. Ripasso spazi affini e spazi proiettivi. Spazi affini e riferimenti affini: A^n(K) spazio affine di dimensione n su K con riferimento affine standard. Esempio: luogo di zeri di un polinomio in A^2(R). Spazi proiettivi P^n(K): definizione, dimensione, iperpiani coordinati, esempio, ricoprimento con sottoinsiemi in biezione con K^n, proprietą ed esempi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti proiettivamente indipendenti. Sistema di riferimento proiettivo. Proprieta' che caratterizza i sistemi di riferimento: n+2 punti sono un sistema di riferimento in P^n(K) in relazione alle basi di K^(n+1) (senza dim). Esempio: luogo di zeri di un polinomio in P^1(R). Ripasso Anelli e Ideali. Definizione di Ideale: somma, intersezione e prodotto. Ideale primo, ideale massimale. Ideali finitamente generati ed esempi. Esempio: Ideale delle funzioni che si annullano nell'origine.
- 06.03.2025 (+2=5h) : Ideale delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) di K^n: e' finitamente generato, descrizione generatori e ideale massimale (con dim.). Ideali massimali in K[x_1,...x_n] ed esempi. Radicale di un ideale: definizione e proprietą. Esempi.
- 10.03.2025 (+3=8h) : Ripasso ideali radicali. Ideali radicali e caratterizzazione (con dim.). Il radicale di un ideale č un ideale radicale. I campi algebricamente chiusi sono infiniti (con dim.). Anelli Noetheriani: ogni catena ascendente di ideali č stazionaria, esiste un elemento massimale per inclusione in ogni famiglia non vuota di ideali, ogni ideale č finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. Anelli Artiniani. Esempi. Il quoziente di un anello Noetheriano č Noetheriano (con dim.). Teorema della Base di Hilbert (con dimostrazione). Anello dei polinomi a coeff. in un campo K in un numero finito di incognite č Noetheriano (con dim.) e anche i quozienti con un ideale (con dim.). Definizione insiemi affini o insiemi algebrici associati ad un numero finito di polinomi. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine.
- 24.03.2025 (+3=11h) : Ripasso definizione insiemi affini o insiemi algebrici definiti da un numero finito di polinomi. Ipersuperfici. Esempi. Insiemi affini nella retta affine. Se il campo č algebricamente chiuso, le ipersuperfici nel piano affine contengono un numero infinito di punti (con dim.). Se il campo č infinito allora il complementare di una ipersuperficie č non vuoto (con dim.). Esempi. Insiemi affini o insiemi algebrici come luogo di zeri di ideali (equivalenza con dim.). Esempi. Proprietą del luogo degli zeri di un ideale: inclusione, intersezione di due insiemi affine č affine, unione di affini č ancora affine (con dim). Gli insiemi affini determinati da un ideale e dal suo radicale coincidono (con dim.). Esempi su insiemi affini, esempi su differenza di insiemi affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n: definizione, chiusi, č T1 (con dim.). Topologia di Zariski sulla retta affine č la topologia cofinita (con dim.).
- 31.03.2025 (+3=14h) : Ripasso definizione insiemi affini, proprieta' e Topologia di Zariski. Base degli aperti fondamentali della topologia di Zariski (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n non č T2 (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n su R o C č meno fine della topologia euclidea (con dim.). La topologia di Zariski nel piano affine non č la topologia prodotto. Teorema di classificazione degli insiemi affini nel piano affine (senza dim.). Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine: definizione, proprietą ed esempi. Ogni ideale č contenuto nell'ideale associato al suo luogo degli zeri (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un sottoinsieme coincide con la chiusura del sottoinsieme (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un insieme affine coincide con l'insieme affine (con dim.). Applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e proprietą, suriettivitą ed iniettivitą.
- 07.14.2025 (+3=17h) : Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e proprietą. L'ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine č un ideale radicale (con dim). Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte e conseguenze sulle applicazioni V e I. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma debole e versione logicamente equivalente. Teorema: equivalenza forma debole e soluzione di sistemi di equazioni polinomiali (con dim.). Teorema su un polinomio che si annulla sul luogo degli zeri di polinomi e dimostrazione equivalenza con forma forte (con dim.). Teorema che descrive tutti gli ideali massimali dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo algebricamente chiuso: dimostrazione equivalenza con forma debole (con dim.). Teorema: forma forte implica forma debole (con dim.). Teorema: forma debole implica forma forte (con dim.). Corollari del Nullstellensatz a ideali primi o massimali, ideali generati da un polinomio irriducibile e il loro luogo degli zeri.
- 14.04.2025 (+3=20h) : * Fuori programma: Dimostrazione del Nullstellensatz usando risultati di algebra su estensioni di campi*. Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato. Definizione di sottoinsieme affine. Esempi. Definizione di insieme affine irriducibili e riducibile. Terminologia varietą algebriche e varietą algebriche irriducibili. Esempi. Teorema: un insieme affine č irriducibile se e solo se l'ideale associato č primo (con dim.). Conseguenze: ogni punto č irriducibile, lo spazio affine č irriducibile, il luogo degli zeri di un polinomio irriducibile č irriducibile (con dim.). Definizione di spazio topologico Noetheriano. Lo spazio affine di dimensione n con la topologia di Zariski e' uno spazio Noetheriano (con dim.). Proprietą dello spazio affine di dimensione n: ogni famiglia non vuota di insiemi affine ammette elemento minimale (con dim.). Teorema: ogni insieme affine č unione di un numero finito di insiemi affini irriducibili (con dim.). Teorema: ogni insieme affine amemtte decomposizione minimale e definizione delle componenti irriducibili (dim. solo dell'esistenza.).
- 28.04.2025 (+3=23h) : Ripasso insiemi affini irriducibili. Dimensione topologica di un insieme affine ed Esempi. Spazi proiettivi, polinomi e luogo degli zeri. Definizione di ipersuperficie proiettiva. Esempi. Definizione di Ideale omogeneo e proprietą caratteristica (senza dim.). Esempi. Esempio: ideale irrilevante. Proprietą degli ideali omogenei (senza dim.). Definizione di annullamento di un polinomio in un punto nello spazio proiettivo e caratterizzazione con le sue componenti omogenee (con dim.). Definizione di insieme algebrico proiettivo proprietą ed esempi. Definizione di topologia di Zariski sullo spazio proiettivo.
- 05.05.2025 (+3=26h) : Ripasso definizione di ideale omogeneo, di insieme algebrico proiettivo e annulamento di un polinomio. Definizione di Ideale associato ad una varietą proiettiva: č omogeneo (con dim.) e proprietą. Definizione di Cono affine associato ad una varietą proiettiva. Relazione tra luogo degli zeri di un ideale nello spazio affine e nello spazio proiettivo (con dim.). Teorema del Nullstellensatz proiettivo (con dim.). Corrispondenza ideali omogenei radicali che non contengono ideale irrilevante e insiemi proiettivi non vuoti. Corrispondenza insiemi algebrici affini e insiemi algebrici proiettivi: omogeneizzazione e deomogenizzazione di un polinomio. Chiusura proiettiva di un insieme affine ( senza dimostrazione ).
- 12.05.2025 (+3=29h) : Anello delle funzioni regolari su un insieme affine: definizione, proprietą ed esempi. Dimensione di un insieme affine come dimensione di Krull dell'anello delle funzioni regolari. Morfismi regolari tra insiemi affini: definizione, proprietą ed esempi. Isomorfismi regolari tra insiemi affini e isomorfismo indotto sugli anelli delle funzioni regolari (senza dim.). Esempi di isomorfismi.
- 15.05.2025 (+2=31h): Esempio di morfismo regolare biettivo che non è un isomorfismo. Campo delle funzioni razionali su un insieme irriducibile: definizione, Proprietą ed esempi. Definizione di punto regolare. Dominio di una funzione razionale č un aperto non vuoto (con dim.). Proprietą. Anello (locale) delle funzioni razionali regolari in un punto: definizione, proprietą, ideale massimale.
- 19.05.2025 (+1=32h) : Definizione morfismo razionale e morfismo razionale dominante. Definizione di morfismo birazionale e proprietą. Varietą birazionalmente equivalenti. Esempio di morfismo birazionale.
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