Esercitazioni di Geometria 2018/2019
Corso di Laurea in Fisica.
Docente del Corso Prof. Giulia Dileo.
Ricevimento
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Testi consigliati
A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI (per la parte algebrica).
E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.
E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella: "Algebra lineare e geometria analitica", Vol. I e II, Aracne Ed.
Esercizi
Per chi volesse esercitarsi qui ci sono alcuni esercizi.
- Esercizi 23 Ottobre 2018 (su numeri complessi, prodotto di matrici e determinante di matrici)
- Esercizi 25 Ottobre 2018 (su spazi vettoriali, sottospazi e basi)
- Esercizi 30 Ottobre 2018 (su inversa di matrici)
- Esercizi 6 Novembre 2018 (su rango di matrici)
- Esercizi 22 Novembre 2018 (su sistemi lineari)
- Esercizi 29 Novembre 2018 (su applicazioni lineari e matrici)
- Esercizi 6 Dicembre 2018 (su endomorfismi diagonalizzabili)
- Esercizi di riepilogo su: spazi affini e spazi euclidei.
- Alcuni esercizi di preparazione.
Esami
Per le date di esame consultare ESSE3
Diario delle Lezioni
- 02.10.2018 (2h ): Ripasso funzioni: Definizione di funzione, funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa. Immagini e Controimmagini. Definizione di restrizione di una funzione, di funzione ridotta e di iniezione canonica. Esercizi su composizioni di funzioni iniettive, composizioni di suriettive, composizioni di biettive, su immagini e controiimagini di intersezione. Esercizi su funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa e composizione.
- 04.10.2018 (+1=3h ): Esercizi su legge di composizione, associativita', commutativita', elemento neutro, elementi ivertibili.
- 09.10.2018 (+2h=5h ): Struttura algebrica di campo sull'insieme dei numeri complessi. Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0). R sottocampo di C. Definizione dell'unita' immaginaria i=(0,1). Forma algebrica dei numeri complessi. Definizione di coniugato e di modulo di un numero complesso. Proprieta' del coniugato e del modulo. Forma algebrica dell'inverso. Esempi. Struttura algebriche di spazio vettoriale di C su C e C su R. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nell'indeterminata x. Struttura di anello su K[x]: Somma, prodotto, elementi neutri, opposto, inverso. Grado di un polinomio, proprieta'. Struttura di spazio vettoriale su K[x].
- 11.10.2018 (+1h=6h ): : Teorema di divisione tra polinomi (senza dim.). Divisibilita' tra polinomi. Polinomi irriducibili. Fattorizzazione di un polinomio come prodotto di irriducibili. Esempi. Radice di un polinomio. Teorema di Ruffini (senza dim.). Molteciplita' di una radice. Campo algebricamente chiuso. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Esempi.
- 16.10.2018 (+2h=8h ): Matrici m righe n colonne a coefficienti in un campo K: M m,n(K). Esempi. Vettori riga, vettori colonna, matrici quadrate. Struttura di K spazio vettoriale sull'insieme M m,n(K). Definizione di diagonale principale. Matrice trasposta e proprieta'. Matrici simmetriche S n(K): definizioni, esempi, struttura di sottospazio. Matrici antisimmetriche A n(K): definizioni, esempi, struttura di sottospazio.
- 18.10.2018 (+1h=9h ): Esempio M n(R) spazio vettoriale come somma diretta di S n(R) e A n(R). Matrici: diagonali, matrici scalari, matrice identita'. Traccia di una matrice e proprieta'. Sottospazio delle matrici a traccia nulla. Kn[x]: sottospazio dei polinomi di grado minore o uguale a n e' finitamente generato.
- 23.10.2018 (+2h=11h ): Teorema K[x] non è finitamente generato. Matrici moltiplicabili. Prodotto righe per colonne tra Matrici. Esempi. Proprieta' del prodotto, struttura di anello su M n(K). Matrici invertibili. Proprieta' dell'inversa. Gruppo lineare generale di ordine n a coefficienti in un campo K. Definizione di sottomatrice. Esempi. Determinante di una matrice quadrata con la Regola di Laplace. Esempi ed Esercizi.
- 25.10.2018 (+1h=12h ): Definizione di base di uno spazio vettoriale. Basi degli spazi vettoriali: M m,n(K), S2(R) e A2(R). Esercizio su sottospazio dello spazio vettoriale dei polinomi.
- 30.10.2018 (+2h=14h ): Ripasso determinante. Definizione di minore e di complemento algebrico. Esempi. Combinazione lineare di righe o colonne di una matrice. Proprieta' del determinante ed Esempi. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Corollario su determinante matrici invertibili (con dim.). Secondo teorema di Laplace (senza dim.). Definizione Matrice Aggiunta. Caratterizzazione delle matrici invertibili (dim. da fare nella prossima lezione) e calcolo dell'inversa. Esempi e Esercizi.
- 06.11.2018 (+2h=16h ): Ripasso: complemento algebrico, determinante, Secondo teorema di Laplace, aggiunta. Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili (con dim.) e calcolo dell'inversa. Esempi e Esercizi. Definizione di rango di una matrice, tramite righe e colonne linearmente indipendenti e tramite minori. Esempi e Esercizi su rango. Definizione di minore orlato. Teorema degli orlati di Kronecker (senza dim.). Esempi. Determinazione del rango di una matrice al variare di un parametro. Gruppo GL(n,K), GL+(n,R), gruppo speciale lineare SL(n,R).
- 07.11.2018 (+1h=17h ): Gruppo O(n,K) delle matrici ortogonali. Determinante matrici ortogonali. Gruppo speciale ortogonale SO(n,K). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Determinazione del rango di una matrice al variare di un parametro.
- 08.11.2018 (+1h=18h ): Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Caso m=1, una equazione lineare. Esempi e Risoluzione. Matrici associate al sistema: matrice coefficienti (incompleta), matrice incognite, matrice termini noti, matrice completa. Sistema in forma matriciale. Esempi.
- 14.11.2018 (+1h=19h ): Ripasso corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari. Determinazione della applicazione lineare associata ad una matrice. Esempi. Esercizio su applicazioni lineari definite da matrici, determinazione del nucleo e dell'immagine.
- 20.11.2018 (+2h=21h ): Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Definizione di sistema di Cramer, Teorema di risoluzione dei sistemi di Cramer e formula per la soluzione (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi. Caso rango=m< n. Teorema di risoluzione caso rango=m< n con dimostrazione. Esempi. Teorema di Rouche'-Capelli (con dimostrazione). Esempi.
- 22.11.2018 (+1h=22h ): Metodo di risoluzione per i sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Esercizio. Sistemi lineari omogenei di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Sistema omogeneo e sistema omogeneo associato ad un sistema lineare. Teorema di struttura di spazio vettoriale su insieme soluzioni di un sistema omogeneo (dimostrazione: coming soon).
- 27.11.2018 (+2h=24h ): Teorema di struttura di spazio vettoriale su insieme soluzioni di un sistema omogeneo (con dimostrazione). Teorema che associa ad uno spazi vettoriale un sistema lineare omogeneo (con dimostrazione). Struttura dell'insieme delle soluzioni nel caso generale. Definizione di Endomorfsimo Diagonalizzabile ed Esempi. Definizione Autovettore e Autovalore di un Endomorfismo. Esempi. Unicita' autovalore associato ad un autovettore (con dimostrazione). Teorema: un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se esiste base di autovettori (con dimostrazione).
- 29.11.2018 (+1h=25h ): Definizione di Matrici Simili. Matrici Simili hanno stesso determinante (con dimostrazione). Definizione di Matrice Diagonalizzabile. Matrici associate ad uno stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili (con dimostrazione). Un endomorfismo e' diagonalizzzabile se e solo se la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base e' diagonalizzabile (con dimostrazione). Definizione Autovettore e Autovalore di una matrice.
- 04.12.2018 (+2h=27h ): Riepilogo di quanto fatto sulla diagonalizzazione. Definizione di autospazio relativo ad un autovalore. Teorema: ogni autospazio e' uno spazio vettoriale (con dimostrazione). Caratterizzazione degli autospazi come soluzioni di sistemi omogeni (con dimostrazione). Definizione di polinomio caratteristico eTeorema di indipendenza dalla scelta della base (con dim.) Esempi. Teorema di Cayley-Hamilton: gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Esempi. Molteplicita' algebrica e molteplicita geometrica. Teorema che 1 e' minore o uguale della molteplicita geometrica minore uguale della molteplicita algebrica (con dim.).
- 06.12.2018 (+1h=28h ): Teorema: Criterio di diagonalizzabilita' degli endomorfismi (senza dimostrazione). Autovalori semplici. Esempi ed Esercizi su diagonalizzabilita'.
- 11.12.2018 (+2h=30h ): Definizione di operatore simmetrico su spazi euclidei. Relazione tra operatori simmetrici e matrici simmetriche (con dim.). Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale ha tutte le radici reali (con dim.). Teorema spettrale: Ogni operatore simmetrico ammette una base ortonormale diagonalizzante (con dim). Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R). That's it.
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