Esercitazioni di Geometria 2, 2025/2026
Corso di Laurea in Matematica. Docente del Corso Prof.ssa G. Dileo.
Inizio lezioni Martedi 24 Febbraio 2024 alle ore 8:30 in Aula I. Orario Martedi 8:30-12:30, Mercoledi 11:30-13:30 e Venerdi 8:30-10:30 Aula I.
Ricevimento
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Programma
Programma del corso dell'anno 2025-2026 (Il programma deifnitivo in dettaglio e' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)
Testi consigliati
E.Abbena, A.M.Fino, G.M.Gianella: "Algebra lineare e geometria analitica", Aracne.
S.Abeasis: "Algebra lineare e Geometria", Zanichelli.
M.Audin: "Geometry", Universitext, Springer.
M.Berger: "Geometry I", Universitext, Springer.
G.Campanella, "Affinita', isometrie, proiettivita'", Aracne.
E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.
Tutorato
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Esami
Per le date di esame consultare ESSE3
Esercizi
- Esercizi 3 Marzo 2026 (alcuni visti a lezione endomorfismi simmetrici)
- Esercizi 17 Marzo 2026 (alcuni visti a lezione su spazi affini)
- Esercizi 25 Marzo 2026 (alcuni visti a lezione su spazi affini)
- Esercizi 31 Marzo 2026 (alcuni visti a lezione su spazi affini dimensione 3)
- Esercizi 1 Aprile 2026 (alcuni visti a lezione su piano e piano euclideo)
- Esercizi 8 Aprile 2026 (alcuni visti a lezione su piano euclideo e circonferenze)
- Esercizi 30 Aprile 2026 (alcuni visti a lezione su spazio euclideo di dimensione 3)
- Esercizi 5 Maggio 2026 (alcuni visti a lezione su spazio euclideo di dimensione 3, distanza)
- Esercizi 12 Maggio 2026 (alcuni visti a lezione su spazio euclideo di dimensione 3, distanza e sfere)
- Esercizi 19 Maggio 2026 (alcuni visti a lezione su spazio euclideo di dimensione 3, sfere e circonferenze)
- Esercizi ulteriori (su spazi affini e spazi euclidei)
- Tracce delle prove di Geometria 2
Diario delle Lezioni
- 24.02.2026 (2h ): Ripasso definizioni e notazioni di Geometria 1. Definizione di: Spazio vettoriale, sottospazio vettoriale, sottospazio vettoriale generato da vettori, base di uno spazio vettoriale, applicazioni lineari, endomorfismi, isomorfismi, automorfismi, prodotto scalare, spazio vettoriale euclideo, base ortonormale, matrici, matrici quadrate, matrici invertibili, matrice associata ad una applicazione rispetto a basi fissate, matrice associata alla composizione di morfismi, matrici del cambiamento di base, matrice del cambiamento di basi ortonormali. Endomorfismi simmetrici (detti anche autoaggiunti o operatori autoaggiunti o simmetrici): definizione. Caratterizzazione degli endomorfismi simmetrici con gli elementi di una base (con dim.). Matrice simmetriche associata ad un endomorfismo simmetrico rispetto ad una base ortonormale (con dim.). Esempio.
- 27.02.2026 (+2=4h ): Ripasso definizione endomorfismi simmetrici e proprieta' viste. Ripasso: polinomio caratteritico, autovalori, autovettori, endomorfismi diagonalizzabili, matrici diagonalizzabili. Teorema: le matrici simmetriche hanno tutti autovalori reali (con dim.). Corollario: gli endomorfismi simmetrici hanno tutti autovalori reali (con dim.). Autovettori di endomorfismi simmetrici, rispetto ad autovalori distinti, sono ortogonali (con dim.). Teorema spettrale (con dim.). Teorema spettrale per matrici (con dim.). Esercizi su endomorfismi simmetrici rispetto al prodotto scalare standard e rispetto ad un prodotto scalare qualsiasi.
- 03.03.2026 (+2=6h ): Esercizi su endomorfismi simmetrici rispetto al prodotto scalare standard e rispetto ad un prodotto scalare qualsiasi. Esercizio su diagonalizzazione di matrice simmetrica. Prodotti hermitiani su spazi vettoriali complessi: definizione. Spazi vettoriali hermitiani. Esercizio: prodotto hermitiano standard su C^n.
- 06.03.2026 (+2=8h ): Ripasso prodotti hermitiani su spazi vettoriali complessi. Matrice associata ad un prodotto hermitiano rispetto ad una base (con dim.). Matrici hermitiane: definizione. Proprieta' spazi vettoriali hermitiani. Definizione endomorfismi hermitiani su spazi hermitiani. Caratterizzazione endomorfismi hermitiani tramite matrici hermitiani (senza dim.). Teorema: autovalori endomorfismi hermitiani sono reali (con dim.). Teorema spettrale per endomorfismi hermitiani (senza dim.). Matrici ortogonali di ordine n a coefficienti in R: definizione O(n,R). Gruppo matrici ortogonali sottogruppo matrici invertibili (con dim.). Determinante matrici ortogonali (con dim.). Gruppo speciale ortogonale SO(n,R). Colonne e righe di una matrice ortogonale costituiscono base ortonormale (con dim.). Descrizione esplicita di O(1, R) e SO(1,R). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Descrizione esplicita di SO(2, R). Rotazioni.
- 10.03.2026 (+2=10h ): SO(n,R) sottogruppo delle matrici ortogonali (con dim.). Descrizione esplicita di O(2, R): riflessioni. Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R) (con dim.). Isometrie lineari: Definizione, proprieta': identita' e composizione (con dim.). Teorema: Isometrie lineari sono: lineari, isomorfimsmi e inverse isometrie lineari (con dim.). Teorema di caratterizzazione delle isometrie lineari (con dim.).
- 11.03.2026 (+2=12h ): Ripasso definizione di isometrie lineari. Isometrie lineari preservano angoli convessi tra vettori non nulli (con dim.) Isometrie lineari e immagini di basi ortonormali (con dim.). Teorema di caratterizzazione delle isometrie lineari con matrici ortogonali (con dim.). Matrici ortogonali di passaggio tra basi ortonormali (con dim.). L'insieme delle isometrie lineari da uno spazio in se stesso è un gruppo (con dim.), sottogruppo del gruppo degli isomorfismi lineari. Autovalori di isometrie lineari e autovettori ortogonali (con dim.). Definizione endomorfismi unitari. Teorema di caratterizzazione (senza dim.). Definizione matrici unitarie. Teorema di caratterizzazione degli endomorfismi unitari con matrici unitarie (senza dim.). Autovalori di endomorfismi unitari e autovettori ortogonali (senza dim.). Teorema di diagonalizzazione per endomorfismi unitari (senza dim.).
- 17.03.2026 (+2=14h ): Esercizi su sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini definiti da un punto e dalla giacitura. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani. Equazioni parametriche e cartesiane di un piano per un punto e parallelo ad un piano.
- 24.03.2026 (+2=16h ): Esercizi su sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente in dimensione 4 e in dimensione 3. Piano affine: parametri direttori di una retta, equazione parametriche e cartesiane di rette passanti per due punti, passanti per un punto e parallele ad una retta data, fasci di rette. Fasci di rette: centro, rette parallele a rette date, rette passanti per un punto dato.
- 31.03.2026 (+2=18h ): Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente. Esercizi su sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di un piano passante per due punti e parallelo ad una retta. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta, passante per un punto, contenuta in un piano e incidente ad una retta. Rette sghembe e parallele in presenza di paramentro. Punti parametrizzati e rette. Fasci di piani di centro una retta: piani paralleli a rette e piani.
- 01.04.2026 (+2=20h ): Esercizi: Simmetrico di un punto rispetto ad un punto. Esercizi nel piano euclideo: distanza tra due punti, angolo orientato tra rette, proiezione ortogonale di un punto su una retta, distanza punto retta. Distanza tra rette parallele (formula con dim.). Simmetrico di un punto rispetto ad una retta. Simmetrico di una retta rispetto ad un punto. Simmetrico di una retta rispetto ad una retta (rette parallele e rette incidenti). Asse di un segmento.
- 08.04.2026 (+2=22h ): Esercizi nel piano euclideo: bisettrici tra rette, rette con distanze fissate da un punto, retta equidistante da rette parallele. Circonferenza: definizione, centro, raggio, equazione, proprietà. Posizione reciproca tra circonferenze e rette. Esercizi: Equazioni di circonferenze, raggio, centro; circonferenza per tre punti; tangenti per un punto ad una circonferenza; tangenti ad una retta in un punto e passanti per un altro punto; tangenti ad una retta in un punto e con centro su un altra retta o a distanza fissata da una retta; tangenti a due rette e con centro su una retta.
- 28.04.2026 (+2=24h ): Ripasso regole d'esame e date d'appello. Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta ortogonale ad un piano passante per un punto, proeizione di un punto su un piano. Teoria: Distanze nello spazio euclideo tridimensionale: distanza tra punti, distanza punto piano: formula. Distanza tra piani. Distanza piano retta. Esericizio: retta incidente due rette e a distanza fissata da piano. Proiezione di un punto su una retta, piano ortogonale ad una retta passante per un punto. Distanza punto retta. Esercizio su distanza: retta parallela ad una retta data, incidente una retta e a distanza fissata da un punto. Distanza rette parallele.
- 05.05.2026 (+2=26h ): Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta contenuta in un piano e incidente ad una retta e ortogonale ad un altra retta; retta per un punto e parallela ad un piano e formante un angolo dato con una retta; punto conoscendo proiezioni ortogonali su retta e piano; retta perpendicolare a piano e incidente due rette. Teoria: distanza fra rette sghembe: definizione di minima distanza e di retta di minima distanza e prorpieta'.
- 12.05.2026 (+2=28h ): Teoria: Definizione di SFERA: equazione, centro e raggio.Posizione reciproca retta e sfera: secante, tangente, esterna. Posizione reciproca piano e sfera: secante, tangente, esterno. Teoria: Definizione di CIRCONFERENZA nello spazio euclideo di dimensione 3: definizione, centro, raggio, asse, proprietà, retta tangente. Esercizio su: minima distanza e di retta di minima distanza, retta per un punto parallela a piano e a distanza fissata da una retta. Esercizi: sfera tangente a piano in un punto e centro su un altro piano; sfera tangente a retta in un punto e centro su un altra retta; sfera tangente ad un piano in un punto e passante per un punto.
- 18.05.2026 (+2=30h ): Esercizi: sfera tangente a piano in un punto e passante per un punto; sfera tangente a due rette in due punti dati. Esercizi su CIRCONFERENZA nello spazio euclideo di dimensione 3: centro e raggio della circonferenza, retta tangente in un punto; sfera contenente una circonferenza passante per un punto; circonferenza tangente ad una retta in un punto e con centro su una retta; circonferenza tangente ad una retta in un punto e passante per un punto.
- 19.05.2026 (+1=31h ): Esercizi su CIRCONFERENZA nello spazio euclideo di dimensione 3: circonferenza tangente ad una retta in un punto e passante per un punto. Esercizi nello spazio euclideo di dimensione 3: rette sghembe al variare di un parametro, rette complanari, circonferenza tangente a retta in un punto e tangente ad un altra retta. That's it.