Esercitazioni di Geometria 2, 2024/2025
Corso di Laurea in Matematica. Docente del Corso Prof.ssa G. Dileo.
Ricevimento
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Programma
Programma del corso dell'anno 2024-2025 (Il programma deifnitivo in dettaglio e' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)
Testi consigliati
E.Abbena, A.M.Fino, G.M.Gianella: "Algebra lineare e geometria analitica", Aracne.
S.Abeasis: "Algebra lineare e Geometria", Zanichelli.
M.Audin: "Geometry", Universitext, Springer.
M.Berger: "Geometry I", Universitext, Springer.
G.Campanella, "Affinita', isometrie, proiettivita'", Aracne.
E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.
Esami
Per le date di esame consultare ESSE3
Esercizi
- Esercizi 10 Aprile 2025 (alcuni visti a lezione su spazi affini) [Update: cambiamento nomi alle giaciture; Esercizio 7 in A3]
- Esercizi 17 Aprile 2025 (alcuni visti a lezione su spazi affini, piano affine ed euclideo)[Update: Nell'Esercizio 13 e' cambiata la retta s ]
- Esercizi 29 Aprile 2025 (alcuni visti a lezione su piano ed euclideo e circonferenze)
- Esercizi 9 Maggio 2025 (alcuni visti a lezione su circonferenze e sullo spazio euclideo di dimensione 3)
- Esercizi 15 Maggio 2025 (alcuni visti a lezione sullo spazio euclideo di dimensione 3, distanza e sfere)
- Esercizi 20 Maggio 2025 (alcuni visti a lezione su sfere, circonferenze, coni)
- Esercizi ulteriori (su spazi affini e spazi euclidei)
- Prova di autovalutazione del 27 Maggio 2025
- Tracce delle prove di Geometria 2 A.A. 2024-2025
Diario delle Lezioni
- 04.03.2025 (3h ): Ripasso definizione di Spazio vettoriale e insieme matrici quadrate M n(K). Matrici invertibili. Definizione Gruppo Generale Lineare delle matrici invertibili GL(n,K). Definizione di gruppo ed esempi. Definizione di sottogruppo. Definizione di Anello e di campo. Definizione di basi concordemente orientate e relazione di equivalenza (con dim.). Definizione di Orientazione di uno spazio vettoriale reale. Teorema esistenza di due orientazioni (con dim.) Sottogruppo delle matrici a determinante positivo GL+(n,R). Gruppo speciale lineare SL(n,K). Prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale (reale) euclideo di dimensione 3:definizioni, proprieta' ed esempi.
- 11.03.2025 (+3h=6h ): Ripasso definizione di prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale (reale) euclideo di dimensione 3. Caratterizzazione prodotto scalare tra prodotto vettoriale e un vettore (con dim.). Teorema su alcune proprita' del prodotto vettoriale (con dim.). Teorema su dipendenza del prodotto vettoriale dalla base dello spazio vettoriale (con dim.). Prodotti hermitiani su spazi vettoriali complessi: definizione. Spazi vettoriali hermitiani. Matrice associata ad un prodotto hermitiano rispetto ad una base. Matrici hermitiane: definizione. Esercizio: prodotto hermitiano standard su C^n.
- 25.03.2025 (+3h=9h ): Ripasso prodotti hermitiani su spazi vettoriali complessi. Definizione endomorfismi hermitiani su spazi hermitiani. Caratterizzazione endomorfismi hermitiani tramite matrici hermitiani (senza dim.). Teorema: autovalori endomorfismi hermitiani sono reali (con dim.). Teorema spettrale per operatori hermitiani (senza dim.). Matrici ortogonali di ordine n a coefficienti in R: definizione O(n,R). Gruppo matrici ortogonali sottogruppo matrici invertibili (con dim.). Determinante matrici ortogonali (con dim.). Gruppo speciale ortogonale SO(n,R). Colonne e righe di una matrice ortogonale costituiscono base ortonormale (con dim.). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R).
- 04.04.2025 (+2h=11h ): SO(n,R) sottogruppo delle matrici invertibili (con dim.). Isometrie lineari: Definizione, proprieta': identita' e composizione (con dim.). Teorema: Isometrie lineari sono: lineari, isomorfimsmi e inverse isometrie lineari (con dim.). Teorema di caratterizzazione delle isometrie lineari (con dim.). Isometrie lineari preservano angoli convessi tra vettori non nulli (con dim.) Isometrie lineari e immagini di basi ortonormali (con dim.). Teorema di caratterizzazione delle isometrie lineari con matrici ortogonali (con dim.). Matrici ortogonali di passaggio tra basi ortonormali (con dim.). L'insieme delle isometrie lineari da uno spazio in se stesso è un gruppo (con dim.), sottogruppo del gruppo degli isomorfismi lineari.
- 08.04.2025 (+3h=14h ): Esercizi su sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini definiti da un punto e dalla giacitura. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, parallelismo, intersezione, sottospazio congiungente. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani. Equazioni parametriche e cartesiane di un piano per un punto e parallelo ad un piano.
- 15.04.2025 (+3h=17h ): Esercizi su sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di un piano passante per due punti e parallelo ad una retta. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta, passante per un punto, contenuta in un piano e incidente ad una retta. Rette sghembe e parallele in presenza di paramentro. Punti parametrizzati e rette. Fasci di piani di centor una retta: piani paralleli a rette e piani. Piano affine: parametri direttori di una retta, equazione parametriche e cartesiane di rette passanti per due punti, passanti per un punto e parallele ad una retta data, fasci di rette. Fasci di rette: trovare centro, rette parallele a rette date, passanti per un punto. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto. Esercizi nel piano euclideo: distanza tra due punti, angolo orientato tra rette, rette ortogonali, proiezioni ortogonali.
- 29.04.2025 (+3h=20h ): Esercizi nel piano euclideo: proiezione ortogonale di un punto su una retta, distanza punto retta. Teorema: Formula distanza punto retta (con dim.). Definizione distanza tra rette parallele. Esercizi. Simmetrico di un punto rispetto ad una retta. Simmetrico di una retta rispetto ad un punto. Simmetrico di una retta rispetto ad una retta (rette parallele e rette incidenti). Asse di un segmento, bisettrici tra rette, rette con distanze fissate. Circonferenza: definizione, centro, raggio, equazione, proprietà. Posizione reciproca tra circonferenze e rette. Esercizi: Circonferenza per tre punti, tangenti per un punto ad una circonferenza.
- 06.05.2025 (+3h=23h ): Esercizi circonferenza nel piano euclideo: tangenti ad una retta in un punto e passanti per un altro punto; tangenti ad una retta in un punto e con centro su un altra retta o a distanza fissata da una retta, tangenti a due rette e con centro su una retta. Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale: retta ortogonale ad un piano passante per un punto, piano ortogonale ad una retta passante per un punto, retta contenuta in un piano e incidente ad una retta e ortogonale ad un altra retta, retta per un punto e parallela ad un piano e formante un angolo dato con una retta. Distanze nello spazio euclideo tridimensionale: distanza tra punti, distanza punto piano: formula con dimostrazione, distanza tra piani, distanza punto retta. Esercizio su distanza: retta parallela ad una retta data, incidente una retta e a distanza fissata da un punto.
- 13.05.2025 (+4h=27h ): Esercizi nello spazio euclideo tridimensionale Esercizio su distanza: retta parallela ad una retta data, incidente una retta e a distanza fissata da un punto. Esercizi su: punto conoscendo proiezioni ortogonali su retta e piano, retta perpendicolare a piano e incidente due rette. Distanza retta piano. Esericizio: retta incidente due rette e a distanza fissata da piano. Distanza fra rette paralle e sghembe: definizione di minima distanza e di retta di minima distanza e prorpieta'. Esercizio su: minima distanza e di retta di minima distanza, retta per un punto parallela a piano e a distanza fissata da una retta. Definizione di sfera: equazione, centro e raggio. Posizione reciproca retta e sfera: secante, tangente, esterna. Posizione reciproca piano e sfera: secante, tangente, esterno. Esercizi: sfera tangente a piano in un punto e centro su un altro pian, sfera tangente a rettain un punto e centro su un altra retta.
- 20.05.2025 (+3h=30h ):
Esercizi su sfere: sfera tangente a due rette in due punti dati,
sfera tangente ad un piano in un punto e
passante per un punto. CIRCONFERENZA nello spazio euclideo di dimensione 3:
definizione, centro, raggio, asse, proprietà, retta tangente.
Esercizi: centro e raggio della circonferenza,
retta tangente in un punto; sfera contenente una circonferenza passante
per un punto, circonferenza tangente ad una retta in un punto e con centro su una retta,
circonferenza tangente ad una retta in un punto e passante per un punto.
Superfici di rotazione: definizione di superficie algebrica nello spazio euclideo di dimensione 3.
CONO circolare retto: definizione, paralleli o direttrice, generatrici, asse, vertice.
CILINDRO circolare retto:
definizione, paralleli o direttrice, generatrici, asse. Esercizio su cono.