Geometria Algebrica 2019/2020
Corso di Laurea in Matematica.
Codocente del Corso Prof. F. Bastianelli.
Inizio lezioni 18 Febbraio 2020.
Lectures are in Aula II (ground floor): Martedi (Tuesday) 14:00-16:00, Giovedi (Thursday) 10:10-13:00.
Ricevimento
Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.
Programma
Programma del corso; Programme (del corso english version)
Testi consigliati
Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati (Any mathematical book covering the content of the course is ok). Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:
Per il ripasso di topologia e spazi proiettivi: E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri or M. Manetti: "Topologia" ("topology" english version), Springer
Per il ripasso di anelli e ideali: Atiyah-Macdonald: "Introduzione all'algebra commutativa",("Introduction to commutative algebra" english version)
W. Fulton: Algebraic Curves. An introduction to Algebraic geometry.
M. Manetti: Geometria Algebrica.
M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry.
Diario delle Lezioni
- 18.02.2020 (2h) : Presentazione corso, orario lezioni e programma. Ripasso Topologia: spazi topologici. Applicazioni, continue, aperte, chiuse, omeomorfismi. Topologia indotta, topologia quoziente, topologia prodotto. Spazi connessi, compatti, Hausdorff. Ripasso spazi proiettivi: Definizione di spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale. [Introduction to the course. Review of basic definitions in Topology: topological space. Functions: continuous, open and closed functions, homeomorphism. Induced topology, quotient topology, product topology. Connected spaces, Compact spaces, Hausdorff spaces. Review of Projective spaces: definition of a projective space associated with a vector space.]
- 20.02.2020 (+3h=5h) : Ripasso spazi proiettivi: Definizione di spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale. Dimensione spazi proiettivi. Sottospazi proiettivi, dimensione e codimensione. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme. Punti proiettivamente indipendenti. Sistema di riferimento proiettivo. Proposizione che caratterizza i sistemi di riferimento: n+2 punti sono un sistema di riferimento in P^n(K) in relazione alle basi di K^(n+1) (con dimostrazione.) Proiettivita': definizione, proprieta', gruppo delle proiettivita' Aut (P(V)) o PGL(V). Esempi P^n(K) con K= R (campo dei numeri reali) o C (campo dei numeri complessi). Iperpiani coordinati. [Review of Projective spaces: definition of a projective space associated with a vector space. Dimension. Projective subspaces, dimension and codimension. Projective subspaces generated by a subset. Definition of points projectively independent. Projective frame and its (with proof). Projective linear group. Examples: P^n(K) with K= R (field of real numbers) o C (field of complex numbers). Coordinate hyperplane. ]
- 25.02.2020 (+2=7h) : Iperpiani coordinati, ricoprimento con sottoinsiemi in biezione con K^n, coordinate affini. Esempi. Punto di vista topologico degli spazi proiettivi: topologia quoziente su P^n(K) indotta dalla topologia euclidea di K^(n+1), ricoprimento di aperti omeomorfi a K^n. P^n(R) come quoziente della sfera S^n, compattezza, conenssione, relazione antipodale. P^n(C) come quoziente della sfera S^(2n+1), compattezza, conenssione, relazione di equivalenza sulla sfera. Spazi affini e riferimenti affini: A^n_k spazio affine di dimensione n su K con riferimento affine standard. Esempio: luogo di zeri di un polinomio in P^1(R) e A^2_R. [Coordinate hyperplane cover by set in bijection with K^n, affine coordinates. Examples. P^n(K) from the topological poin of view: quotient tpology on P^n(K) induced by euclidean topology on K^(n+1), open cover by set homeomorphic to K^n. P^n(R) as quotient of the sphere S^n: compactness, connectedness, antipodal relation. P^n(C) as quotient of the sphere S^(2n+1): compactness, connectedness, equivalence relation. Affine spaces and frames. Affine space A^n_k of dimension n over K and standard frame. Example: zero locus of a polynomial equation in P^1(R) and A^2_R.]
- 27.02.2020 (3h) :Lecture by Prof. F. Bastianelli.
- 03.03.2020 (+2=9h): Ripasso Anelli e Ideali. Definizione di Ideale: somma, intersezione e prodotto. Ideale primo, ideale massimale. Esempio di ideale primo ma non massimale. Caratterizzazione deali massimali in K[x_1,...x_n] e punti di A^n_k, con K campo algebricamente chiuso. Generatori di un ideale ed esempi in K[x_1,...x_n]. Generatori dell'ideale massimale in K[x_1,...x_n] delle funzioni che si annullano in un punto (a_1, ...a_n) (con dim.). Radicale di un ideale e proprietà. Ideali radicali e caratterizzazione. Il radicale di un ideale è un ideale radicale (con dim.). Esempi. Catena ascendente stazionaria di ideali. Anelli Noetheriani: ogni catena ascendente di ideali è stazionaria, esiste un elemento massimale in ogni famiglia non vuota di ideali, ogni ideale è finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. [Review of ring and ideali. Definizion of ideal: sum, intersection, product. Prime ideal. MAximal ideal. Example of prime ideal that is not maximal. Characterization of maximal ideal in K[x_1,...x_n] and points in A^n_k, for any algebraically closed field k. Generator of ideal and examples. Generator of maixmal ideals in K[x_1,...x_n]. Radical of an ideal. Radical ideal. RAdical of an ideal is a radical ideal (with prof). Ascending chain of ideals that are stazionary. Definition of Noetheian Ring: every ascending chain of ideals is stazionary, every non trivial family of ideals admits a maximal element, every ideal is finitely generated (without proof). Examples.]
- 17.03.2020 (+2=11h online): Ripasso: Catena ascendente stazionaria di ideali. Anelli Noetheiani: ogni catena ascendente di ideali è stazionaria, esiste un elemento massimale in ogni famiglie non vuota di ideali, ogni ideale è finitamente generato (equivalenza non dimostrata). Esempi. Anelli Artiniani. Il quoziente di un anello Noetheriano è Noetheriano (con dim.). Teorema della base di Hilbert (con dim.). Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K in un numero finito di incognite è Noetheriano (con dim.) e anche i quozienti con un ideale (con dim.). Definizione di insieme affine o insieme algebrico come luogo di zeri di polinomi. Esempi. Insiemi affini o insiemi algebrici come luogo di zeri di ideali (equivalenza con dim.). Esempi. Proprietà del luogo degli zeri di un ideale: inclusione, unione di affini è ancora affine, intersezione di un numero arbitrario di affini è affine. Esempio su differenza di insiemi affini.
- 24.03.2020 (+2=13h online): Ripasso: definizione insiemi affini/algebrici o varietà affini/algebriche. Esempi. Ipersuperfici e ipersuperfici nel piano affine contengono un numero infinito di punti (con dim.). Gli insiemi affini determinati da un ideale e dal suo radicale coincidono (con dim.). Esempi su differenza di insiemi affini. Il complementare di una ipersuperficie è non vuoto. Topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n: definizione, chiusi, aperti, è T1 (con dim.). Base degli aperti fondamentali della topologia di Zariski. Topologia di Zariski sulla retta affine è la topologia cofinita (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n non è T2 (con dim.). La topologia di Zariski sullo spazio affine di dimensione n su R o C è meno fine della topologia euclidea (con dim.). La topologia di Zariski sul piano affine non è la topologia prodotto. Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine: definizione, prorpietà ed esempi. Ogni ideale è contenuto nell'ideale associato al suo luogo degli zeri (con dim.). Il luogo degli zeri dell'ideale di un sottoinsieme coincide con la chiusura del sottoinsieme (con dim.).
- 31.03.2020 (+2=15h online): I campi algebricamente chiusi sono infiniti (con dim.) Ripasso: Topologia di Zariski. Classificazione degli insiemi affini nel piano affine (con dim.). Ripasso: Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine: definizione, prorpietà ed esempi. Il luogo degli zeri dell'ideale di un insieme affine coincide con l'insieme affine (con dim.). Applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e proprietà. L'ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine è un ideale radicale. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte e conseguenze sulle applicazioni V e I. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma debole. Teorema: equivalenza forma debole e soluzione di sistemi di equazioni polinomiali (con dim.).
- 16.04.2020 (+3=18h online): Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e prorpietà. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma forte. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) enunciato forma debole. Teorema: equivalenza forma debole e soluzione di sistemi di equazioni polinomiali (con dim.). Teorema che descrive tutti gli ideali massimali dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo algebricamente chiuso: dimostrazione equivalenza con forma debole. Torema: forma debole implica forma forte (con dim.). Teorema su un polinomio che si annulla sul luogo degli zeri di polinomi e dimostrazione equivalenza con fomra forte. Teorema: forma forte implica forma debole (con dim.). Applicazioni del Nulstellensatz a ideali primi o massimali, ideali generati da un polinomio irriducibile e il loro luogo degli zeri.
- 21.04.2020 (+2=20h online): Ripasso applicazioni V=luogo degli zeri e I=ideale associato e prorpietà. Definizione di sottovarietà o sottoinsieme affine. Esempi. Definizione di insieme affine irriducibile e riducibile: varietà algebriche irriducibili. Esempi. Teorema: V è irriducibile se e solo se l'ideale associato è primo (con dim.). Conseguenze: ogni punto è irriducibile, lo spazio affine è irriducibile, il luogo degli zeri di un polinomio irriducibile è irriducibile (con dim.).
- 30.04.2020 (+3=23h online): Ripasso definizione di insieme affine irriducibile e esempi. Definizione spazio topologico Noetheriano. Spazio affine di dimensione n e' uno spazio Noetheriano e proprietà: ogni famiglia non vuota di insieme affine ammette elemento minimale (con dim.). Teorema: ogni insieme affine è unione di un numero finito di insiemi affini irriducibili (con dim.). Teorema: ogni insieme affine ammette decomposizione minimale e definizione delle componenti irriducibili (con dim.). Definizione polinomio in più variabili monico rispetto ad una variabile. Esempi e proprietà. Lemma di preparazione: a meno di un cambiamento di coordinate e moltiplicazione per una costante ogni ideale non nullo dell'anello dei polinomi contiene un polinomio monico rispetto ad una variabile (senza dim.). Esempi: immagine inversa di un insieme affine è un insieme affine, l'immagine diretta di un insieme affine non è in generale un insieme affine. Lemma di proiezione: se un ideale dell'anello dei polinomi contiene un polinomio monico rispetto ad xn, allora l'immagine diretta, tramite la proiezione sulle prime n-1 variabili, del luogo degli zeri dell'ideale è un insieme affine (senza dim.). Teorema degli zeri di Hilbert in forma debole (con dim. usando i lemmi).
- 07.05.2020 (+3=26h online): Definizione di ipersuperficie proiettiva. Esempi. Definizione di Ideale omogeneo e proprietà caratteristica (senza dim.). Esempi. Esempio: ideale irrilevante. Proprietà degli ideali omogenei (senza dim.). Definizione di annullamento di un polinomio in un punto nello spazio proiettivo e caratterizzazione (con dim.). Definizione di isnieme algebrico proiettivo/varietà algebrica proiettiva: proprietà ed esempi. Ideale associato ad una varietà proiettiva: è omogeneo (con dim.) e proprietà. Definizione di Cono affine associato ad una varietà proiettiva. Relazione tra luogo degli zeri di un ideale nello spazio affine e nello spazio proiettivo (con dim.). Relazione tra ideale associato ad una varietà proiettiva e al suo cono (senza dim.). Teorema del Nullstellensatz proiettivo (con dim.). Corrispondenza ideali omogenei radicali non irrilevanti e varietà proiettive non vuote.
- 14.05.2020 (+3=29h online): Corrispondenza varietà algebriche e varietà proiettive ed Esempi. Dimensione topologica di un insieme affine ed Esempi. Anello delle funzioni regolari su un insieme affine: definizione, proprietà ed esempi. Dimensione di un insieme affine come dimensione di Krull dell'anello delle funzioni regolari. Morfismi regolari tra insiemi affini: definizione, proprietà ed esempi. Isomorfismi regolari tra insiemi affini e isomorfismo indotto sugli anelli delle funzioni regolari (senza dim.). Campo delle fuznioni razionali: definizione, proprietà ed esempi.
- 21.05.2020 (+3=32h online): Ripasso: Campo delle fuznioni razionali. Definizione di punto regolare. Dominio di una funzione razionale è un aperto non vuoto (con dim.). Proprietà. Anello (locale) delle funzioni razionali regolari in un punto: definizione, proprietà, ideale massimale. Definizione morfismo razionale e morfismo razionale dominante. Definizione di morfismo birazionale e proprietà. Varietà birazionalmente equivalenti, varietà razionali. Argomento facoltativo: Basi di Groebner. Problema della divisione nell'anello dei polinomi in più variabili. Definizione di ordinamento monomiale. Esempi: grado nel caso di una variabile, ordine lessicografico, ordine lessicografico graduato. Definizone di multigrado di un polinomio e di leading term. Esempi di divisione. Definizione di ideale monomiale. Lemma di Dickson (senza dim.). Ideale generato dai leading term degli elementi di un ideale. Definizione di Base di Groebner di un ideale: definizione, proprietà, esistenza, applicazioni. That's it.