Donatella Iacono

Matematica Discreta 2022/2023 (M-Z)

Corso di Laurea in Informatica e Tecnologia per la Produzione del Software, Corso B, M-Z

Inizio lezioni 29 Settembre 2022 Aula Magna, piano terra, Dipartimento di Informatica. Orario lezioni: Lunedi 8:30-11:00, Martedi 11:30-13:10, Giovedi 8:30-11:00.

Fine Lezioni 20 Dicembre 2022

Ricevimento

Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.

Esami:

Gli studenti che hanno superato la prova e vogliono accettare il voto, devono farlo entro i termini stabiliti su Esse3. Chi non accetta il voto può ripetere la prova in uno qualsiasi degli appelli successivi, perdendo ovviamente la prova precedente (questo vale per chi non accetta il voto per proprio volere, per errore, per dimenticanza, perché non sa usare Esse3, etc. ).

Pagina web degli Esami

Leggere attentamente e comprendere prima di presentarsi agli esami le Regole e faq.

Programma

Testi consigliati

Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati. Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:

G.M. Piacentini Cattaneo:"Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI

M.G. Bianchi, A. Gillio: "Introduzione alla Matematica Discreta", ed. McGRAW-HILL

K. H. Rosen, "Discrete Mathematics and Its Applications", McGraw-Hill Editore, Settima Edizione (2012) (in Inglese).

A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI

Appunti.

È stato attivato un canale su telegram https://t.me/MD22MZ, per facilitare e velocizzare la comunicazione di avvisi. Tutte le notizie verranno comunque pubblicate sulla pagina web del docente.

Esercizi

Esercizi di recupero su prodotti e potenze.(su prodotti, potenze, frazioni)
Esercizi 3 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su insiemi e logica)
Esercizi 4 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su logica e funzioni)
Esercizi 7 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su logica e funzioni. News: cambiato freccia nell'Esercizio 3)
Esercizi 10 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su funzioni. News: tolto Esercizio 5=3)
Esercizi 11 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su funzioni. News: corretto f e h nelle composizioni)
Esercizi 13 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su funzioni)
Esercizi 17 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su principio di induzione e alcuni di ripasso su logica e su funzioni)
Esercizi 18 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su principio di induzione e alcuni di ripasso su logica e su funzioni)
Esercizi 20 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su principio di induzione e alcuni di ripasso su logica e su funzioni)
Esercizi 25 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su combinatoria)
Esercizi 27 Ottobre 2022.(alcuni visti a lezione, su relazioni)
Esercizi 7 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su divisione)
Esercizi 8 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su equazioni diofantee)
Esercizi di riepilogo sulla prima parte del corso (In alcune tracce c'e' un esercizio sui sistemi di congruenze lineari che non va svolto, impareremo a svolgerlo dopo la pausa esoneri) Per simulare una prova basta scegliere una traccia, svolgerla in 2 ore usando solo penna e calcolatrice.
Esercizi 21 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su congruenze)
Esercizi 22 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su congruenze lineari)
Esercizi 24 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su sistemi di congruenze lineari)
Esercizi 28 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su struttre algebriche)
Esercizi 29 Novembre 2022.(alcuni visti a lezione, su struttre algebriche)
Esercizi 1 Dicembre 2022.(alcuni visti a lezione, su gruppi)
Esercizi 5 Dicembre 2022.(alcuni visti a lezione, su gruppi ciclici e di permutazione)
Esercizi 6 Dicembre 2022.(alcuni visti a lezione, su gruppi di permutazione e anelli)
Esercizi 12 Dicembre 2022.(alcuni visti a lezione, su gruppi di matrici)
Esercizi 13 Dicembre 2022.(alcuni visti a lezione, su determinanti e inversa)
Esercizi 15 Dicembre 2022.(alcuni visti a lezione, su grafi)
Esercizi 19 Dicembre 2022.( alcuni visti a lezione, su grafi)
Esercizi 20 Dicembre 2022.( alcuni visti a lezione, sugli argomenti del corso)

Esercizi di riepilogo sulla seconda parte.. Per simulare una prova di autovalutazione basta scegliere una traccia, svolgerla in 2 ore usando solo penna e calcolatrice. ATTENZIONE: dall'Anno Accademico 2017/2018 i reticoli non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui reticoli); dall'Anno Accademico 2020/2021 i numeri complessi non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui numeri complessi).

Raccolta Prove passate

Esami passati. ATTENZIONE: dall'Anno Accademico 2017/2018 i reticoli non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui reticoli); dall'Anno Accademico 2020/2021 i numeri complessi non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui numeri complessi). Nel tempo il corso è cambiato molto poco, ma qualche cambiamento c'è stato, quindi le tracce più recenti sono più simili ad una prova d'esame. ( All'appello del 12 Gennaio 2016, uno studente mi ha fatto giustamente notare che nel titolo manca una i....dal 2011: tutta colpa del copia e incolla! Anche se perseverare è diabolico.... lasciamo questo errore come segno di riconoscimento.

Diario delle Lezioni

Inizio lezioni 29 Settembre 2022 ore 8:30 Aula Magna, piano terrra, Dipartimento di Informatica.

29.09.2022 (3h) : Presentazione del corso, orario lezioni, libri di testo, programma, esami, regole di base. Teoria elementare degli INSIEMI. Simbolo di appartenenza. Tre descrizioni per un insieme: elenco elementi, proprietà caratterizzante, Diagrammi di Venn. Inclusione, inclusione propria, uguaglianza. Esempi. Introduzione al linguaggio e simbolismo matematico: Quantificatori Ogni ed Esiste. Esempi. Unione, Intersezione. Proprietà Esempi.
03.10.2022 (+3=6h) Ripasso simboli. Quantificatori Ogni ed Esiste. Operazione di somma e prodotto negli insiemi numerici: Commutatività, associatività, esistenza elemento neutro. Definizione di complementare e leggi di De Morgan (con dimostrazione) ed esempi. Insieme Differenza ed esempi. Prodotto cartesiano, Insieme delle Parti.Esempi ed Esercizi. LOGICA: Definizione di proposizione, negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione. Tavole di Verità. Esempi ed Esercizi Esempi ed Esercizi. Esercizi di logica: Tabelle di verità con tre proposizioni. Proposizioni logiche, vere, false e negazioni.
04.10.2022 (+2=8h) Logica, ripasso implicazione. Doppia implicazione. Tavole di Verità. Esempi ed Esercizi. Equivalenza di proposizioni. Esempi ed Esercizi. Esercizi di logica: Tabelle di verità con tre proposizioni. Equivalenza di proposizioni. Significato Teorema. Esercizi su legge di De Morgan. Esercizi su logica: proposizioni logiche, vere, false e negazioni. FUNZIONI: Definizione di funzione, insieme di partenza e insieme di arrivo. Esempi.
06.10.2022 (+3h=11h): Esercizi su proposizioni logiche, vere, false e negazioni. FUNZIONI: Ripasso definizione di funzione, insieme di partenza e insieme di arrivo. Funzioni uguali. Immagine di una funzione e di un sottoinsieme. Controimmagine di un sottoinsieme. Esempi ed Esercizi su immagini e controimmagine. Funzione identità. Funzioni costanti. Esempi. Proprietà di immagine e controimmagine rispetto unione e intersezione.
10.10.2022 (+3h=14h): Esercizi su proposizioni logiche, vere, false e negazioni. Tabelle di verità con tre proposizioni. Esercizi su funzioni: immagine dell'intersezione e intersezione delle immagini. Definizione: Grafico di una funzione. Esempi. Funzioni iniettive, definizione ed esempi. Funzioni suriettive, definizione ed esempi. Funzioni biettive, definizione ed esempi.
11.10.2022 (+2h=16h): Esercizi su proposizioni logiche, vere, false e negazioni. Esercizi su funzioni: controimmagine dell'unione è l'unione delle controimmagini. Esercizi su funzioni, iniettive, suriettive, biettive. Composizione di funzione e proprietà. Esempi ed esercizi. Esercizio: dimostrazione che la composizioni di funzioni iniettive è iniettiva. Ripasso regole del corso.
13.10.2022 (+3h=19h): Esercizi su funzioni, iniettive, suriettive, biettive, composizioni. Esercizio: dimostrazione che la composizioni di funzioni suriettive è suriettiva. Funzione inversa di funzioni biettive. Determinazione della funzione inversa. Proprietà: inversa della composizione di funzione, funzione inversa della funzione identità, funzione inversa della funzione inversa (senza dim). Esempi ed Esercizi. CARDINALITÀ: Cardinalità di un insieme. Insiemi Equipotenti. Insiemi finiti. Esempi. Cardinalità minore o uguale. Proprietà di insiemi finiti. Insiemi infiniti, difinizioni equivalenti. Esercizi su funzioni: iniettive, suriettive, biettive, inversa, composizione
17.10.2022 (+3h=22h): Esercizi su funzioni, iniettive, suriettive, biettive, inverse e composizioni. PRINCIPIO di INDUZIONE: Principio di induzione e formulazioni equivalenti. Esempi.Cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme finito (dim.1 usando il principio di induzione). Esempi e controesempi ed esercizi sul principio di induzione.
18.10.2022 (+2h=24h): SUCCESSIONI. Definizioni ed esempi. Successioni ricorsive ed esempi:numeri fattoriali, progressione aritmetica, progressione geometrica. Formula chiusa di successioni ricorsive. Esempi ed Esercizi. Esercizi sul principio di induzione.
20.10.2022 (+3h=27h): Esempi di successioni ricorsive. Numeri di Fibonacci: definizione ricorsiva come modellazione della popolazione di conigli, formula ricorsiva eformula chiusa (senza dim.). Torri di Hanoi: definizione come gioco, formula ricorsiva e formula chiusa (con dimostrazione). Simbolo di sommatoria e proprietà. Esercizi vari su principio di induzione con simbolo di sommatoria. Cardinalità dell'unione di insiemi finiti. Caso generale di insiemi disgiunti. Cardinalità dell'unione di insiemi finiti: Principio di inclusione-esclusione caso con intersezioni non vuote per due e tre insiemi (con dimostrazione). Cardinalita' del prodotto di insiemi finiti. Esempi.
24.10.2022 (+3h=30h): Esercizio su principio di induzione con simbolo di sommatoria. Introduzione a COMBINATORIA: Scegliere k elementi in un insieme con n elementi. Descrizione dei 4 casi: scelta di k elementi senza ripetizione (k minore o uguale ad n) ordine importante/ordine non importante; scelta di k elementi con ripetizione ordine importante/ ordine non importante.Caso 1) =SENZA ripetizioni.Caso 1) a) =SENZA ripetizioni ordine importante: Disposizioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione, calcolo di D(n,k), esempi ed esercizi. D(n,k) calcola il numero di applicazioni iniettive da un insieme di cardinalità k ad uno di cardinalità n(con dim.). D(n,n)=n! come numero di ordinamenti di n oggetti (permutazioni). Esercizi ed Esempi. Caso 1) b) =SENZA ripetizioni ordine non importante: Combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione e calcolo del coefficiente binomiale. Sottoinsiemi di cardinalità k in un insieme di cardinalità n. Proprieta'. Triangolo di Tartaglia e legame con i coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton (senza dim.). Seconda dimostrazione della cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito, usando la formula di Newton (con dim.). Caso 2a) =con ripetizioni ordine importante: Definizioni di disposizioni con ripetizioni di n oggetti di classe k e calcolo esplicito. Numero di funzioni tra due insiemi finiti. Esempi ed Esercizi.
25.10.2022 (+3h=33h): Ripasso caso 1): Scegliere k elementi in un insieme con n elementi senza ripetizione: ordine importante D(n,k). D(n,k) calcola il numero di applicazioni iniettive da un insieme di cardinalità k ad uno di cardinalità n(con dim.). D(n,n) calcola il numero di applicazioni biettive tra insiemi di cardinalità n; ordine non importante: coefficiente binomiale. Ripasso caso Caso 2) scegliere k elementi in un insieme con n elementi ordine importante, numero di funzioni tra due insiemi finiti. Caso 2b) =con ripetizioni ordine non importante: Combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe k. Calcolo (senza dim). Esempi ed Esercizi. Esercizi su Combinatoria. RELAZIONI: Definizioni di relazione su un insieme. Esempi. Relazione vuota, totale, identità. Relazione di ordine parziale: Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva. Esempi.
25.10.2022 (+2h=35h): Esercitazione pomeridiana: Esercizi su Combinatoria: formula coefficiente binomiale, esercizi su disposizioni e combinazioni. Esercizi su principio di induzione con simbolo di sommatoria. Esercizi su successioni ricorsive e formula chiusa. Esercizi su logica
27.10.2022 (+3h=38h): Esercizi su Combinatoria: esercizi su disposizioni e combinazioni. Ripasso definizione relazione di ordine. Insiemi parzialmente ordinati e insiemi totalmente ordinati. Esempi. Relazioni di equivalenza: Riflessiva, Simmetrica, Transitiva. Esempi. Definizione di classe di equivalenza. Esempi ed Esercizi su relazioni di ordine e di equivalenza. Esempio Importante: a-b multiplo di n.
3.11.2022 (+3h=41h): Esercizi su relazioni di ordine e di equivalenza, classi di equivalenza. Ripasso classe di equivalenza. Teorema sulle proprieta' delle classi di equivalenza (con dimostrazione). Definizione di PARTIZIONE di un insieme. Teorema: le cassi di equivalenza definiscono una partizione e viceversa (senza dimostrazione). Definizione di insieme quoziente. Esempi ed Esercizi su relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e insieme quoziente. NUMERI INTERI. Definizione di divisore e multiplo. Proprietà ed esempi.
7.11.2022 (+3h=44h): Ripasso definizione divisore. Teorema della combinazione lineare: divisibilità di ogni combinazione lineare (con dimostrazione). Teorema della divisione in Z: esistenza ed unicità del quoziente e resto (senza dimostrazione). Esempi di divisioni con resto in tutti i casi. Esercizio su induzione con divisione. Esercizio su relazione di equivalenza con divisione. Definizione di un massimo comun divisore e definizione di MCD. Proprietà di MCD. Esempi. Teorema: esistenza del MCD e algoritmo di Euclide per la sua determinazione e Identità di Bezout (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi.
8.11.2022 (+2h=46h): Ripasso definizione di MCD. Definizione di un minimo comune multiplo e di mcm. EQUAZIONI DIOFANTEE: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dim.). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una equazione diofantea (visto solo che sono soluzioni). Esempi ed Esercizi. Esercizi su equazioni diofantee. (Il nome è dovuto a Diofanto, per i più curiosi). Esercizio su induzione con divisione. Esercizio su induzione.
10.11.2022 (+3h=49h): NUMERI PRIMI. Definizione di numeri primi. Definizioni equivalenti (senza dimostrazione) e proprietà. Teorema Fondamentale dell'aritmetica: esiste unica fattorizzazione inpotenze di primi distinti (dimostrato solo l'esistenza della fattorizzazione). Esempi. Applicazione della fattorizzazione per trovare divisori di un numero: scrittura esplicita e calcolo di quanti sono i divisori. Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del MCD. Teorema esistenza infiniti numeri primi (con dimostrazione). Crivello di Eratostene per trovare numeri primi e metodo di Fattorizzazione. Esercizi su: equazioni diofantee, funzioni, relazioni, logica.
21.11.2022 (+3h=52h): CONGRUENZE modulo n >1. Ripasso della definizione della relazione di congruenza: relazione di equivalenza. Descrizione relazione, classi resto, descrizione quoziente. Esempi. Descrizione di alcune proprietà: somma, moltiplicazione, divisione dei coefficienti, riduzione del modulo. Esempi vari. Ripasso criteri di divisibilità per 2, 5, 3 e 9. Piccolo teorema di Fermat (senza dim.). [ Teorema di Fermat (enunciato). Per i piu' curiosi: un po' di storia del teorema e un link un po' meno matematico ] Definizione della funzione di Eulero. Teorema di Eulero Fermat (senza dimostrazione). Applicazione al calcolo di potenze modulo n.
22.11.2022 (+2h=54h): CONGRUENZE: Esercizi su potenze modulo n. CONGRUENZE LINEARI: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una congruenza lineare (usando le equazioni diofantee), descrizione delle soluzioni non congruenti modulo n. Proprietà. Esempi ed Esercizi. Proprietà di risoluzione. Esempi ed Esercizi.
24.11.2022 (+3h=57h): CONGRUENZE: Esercizi su potenze modulo n e su congruenze lineari. SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI: definizione ed esempi. Teorema riduzione dei coefficiente dell'incognita ad 1, nel caso di esistenza di soluzione per ogni congruenza (con dimostrazione). Teorema Cinese dei Resti: esistenza ed unicitàdella soluzione modulo N (dimostrazione solo dell'esistenza della soluzione). Esempi ed Esercizi sui sistemi di congruenze. Per i più curiosi: Il sistema RSA: applicazione delle congruenze lineari alla crittografia. STRUTTURE ALGEBRICHE: Definizione di struttura algebrica, operazione. Esempi. Operazione associativa: esempi e esercizi.
28.11.2022 (+3h=60h): Esercizi: Teorema Cinese dei resti. Ripasso Operazione associativa: esempi ed esercizi. Elemento neutro: esempi e esercizi. MONOIDI: definizione, esempi, monoide delle parole. Definizione di operazione commutativa ed esempi. Esempi ed esercizi su strutture algebriche associativa, commutativa elemento neutro. Definizione di elementi invertibili. Teorema: nelle strutture algebriche associative (monoidi) se l'inverso esiste è unico (con dim.) Esempi ed Esercizi su elementi invertibili.
29.11.2022 (+2h=62h): Esercizi su: congruenze lineari, su strutture algebriche associativa, commutativa, elemento neutro, elementi invertibili. GRUPPI: definizione, esempi, gruppi abeliani e non abeliani. Esempi. Relazioni di equivalenza compatibili con strutture algebriche. Teorema della struttura algebrica indotta sull'insieme quoziente (senza dimostrazione). Esempio fondamentale 1: relazione di congruenza modulo n su Z compatibile con la somma : (Z_n,+). Gruppo abeliano (Z_n, +) ed esempi numerici. Esempio fondamentale 2: relazione di congruenza modulo n su Z compatibile con il prodotto: (Z_n, .). Monoide commutativo (Z_n, .). Esempio numerico. Esercizi su strutture algebriche associativa, commutativa, elemento neutro, elementi invertibili.
01.12.2022 (+3h=65h): Esercizi su strutture algebriche associativa, commutativa, elemento neutro, elementi invertibili. Ordine di un gruppo: definizione ed esempi. Elementi invertibili in (Z_n, .) (con dim.). Gruppo abeliano: (Zp*,.) con p primo è un gruppo abeliano (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi sugli inversi in (Zp*,.). SOTTOGRUPPI: definizioni. Esempi banali. Teorema di Lagrange per i sottogruppi (senza dimostrazione). Sottogruppo ciclico generato da un elemento: insieme delle potenze (multiplo) di un elemento. Esempi nei gruppi moltiplicativi con le potenze e nei gruppi additivi con i multipli. Esempi. Ordine o periodo di un elemento. Ordine degli elementi nei gruppi finiti. Esempi.
05.12.2022 (+3h=68h): Ripasso sottogruppi ciclici generati da un elemento. Proprietà delle potenze di un elemento n realazione al suo ordine (senza dim.). Esempi. GRUPPI CICLICI definizione ed esempi. Proprieta' dei gruppi ciclici: sono abeliani, formula per l'ordine degli elementi nei gruppi ciclici finiti (senza dim.). Descrizione dei generatori. Esempi in (Z_n,+) e (Zp*,.). Esempi ed Esercizi su gruppi ciclici, generatori, ordini di elementi. GRUPPO SIMMETRICO o GRUPPO di PERMUTAZIONI. Definizione di gruppo simmetrico. Notazione degli elementi, degli inversi e della composizione. Esempi. Definizione di ciclo. Esempi.
06.12.2022 (+5h= 73) Ripasso gruppo simmetrico e ordine. Definizione di ciclo. Definizione di trasposizione o scambio. Ogni ciclo corrisponde ad una permutazione. Teorema: Ogni permutazione può scriversi come ciclo o prodotto di cicli disgiunti (senza dim.). Esempi. Teorema: ordine di una permutazione (senza dim.). Esempi. Teorema: Ogni ciclo può essere scritto come prodotto di trasposizioni (con dim.) Esempi. Conseguenza: ogni permutazionepuò essere scritta come prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e dispari. Esempi. Esercizi su gruppo di permutazione: ordine, prodotti di cicli, inversa, pari e dispari, sottogruppo generato ordine degli elementi e descrizione. Esercizio su gruppi ciclici, generatori, ordini di elementi. ANELLI: Definizione di anello, di anello unitario, di anello commutativo unitario. Esempi (Z,+,.),(Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Definizione di divisori dello zero e di elementi invertibili. Esempi in (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Teorema: se un elemento e' invertibile allora non e' un divisore dello zero (con dim.). Definizione di CAMPO. Esempi. Proprietà: negli anelli unitari finiti, ogni elemento o e' un divisore dello zero o e' un elemento invertibile (senza dim.). Divisori dello zero ed invertibili in (Zn,+,.). Esempi. Esercizi su: divisori dello zero e su invertibili negli anelli e determinazione esplicita dell'inverso; su potenze di congruenze, sistemi di congruenze lineari, strutture algebriche associativa, commutativa, elemento neutro, elementi invertibili.
12.12.2022 (+3h= 76): Esercizio su anelli: divisori dello zero, invertibili e determinazione esplicita dell'inverso. Esercizio su gruppo di permutazione: ordine, prodotti di cicli, inversa, pari e dispari, sottogruppo generato ordine degli elementi e descrizione. MATRICI: Definizione di matrice e dell'insieme Mat_mxn(K) delle matrici di ordine mxn a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Definizione della matrice IDENTITA' e di matrice TRASPOSTA. Matrici quadrate Mat_n(K). Definizione del gruppo abeliano (Mat_mxn(K), +) delle matrici di ordine mxn a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Esempi di matrici ed esempi di somma. Prodotto Matrice per un numero. Definizione di matrici moltiplicabili. Definizione di PRODOTTO di MATRICI righe per colonne. Esempi ed esercizi. ANELLO delle MATRICI: (Mat_n(K), +, .) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .), anello non commutativo unitario. MATRICE INVERTIBILE: Definizione di matrice invertibile. Teorema: una matrice quadrata a coefficienti in un campo K è invertibile se e solo se ildeterminante è non nullo (senza dimostrazione). Definizione di DETERMINANTE (di una MATRICE QUADRATA) in Mat_n(K) per n=1 e n=2. Esempi ed Esercizi sul calcolo di determinanti.
13.12.2022 (+2h= 78): Ripasso definizione di DETERMINANTE (di una MATRICE QUADRATA) in Mat_n(K) per n=1 e n=2. Definizione di D ETERMINANTE di una MATRICE QUADRATA per ogni n, usando la Regola di Laplace. Esempi ed Esercizi sul calcolo di determinanti. Definizione di COMPLEMENTO ALGEBRICO di un elemento di una matrice. Definizione e calcolo della MATRICE INVERSA, usando i complementi algebrici. Esempi ed Esercizi su prodotto determinanti, inversa.
15.12.2022 (+3h= 81): GRAFI: definizione di grafo, esempi. Disegno di un grafo. Esempi.Isomorfismo di grafi. Esempi. Grado o Valenza di un vertice. Esempi. Teorema delle strette di mano: formula che lega ilnumero dei lati ai gradi dei vertici (senza dimostrazione).Numero di vertici dispari in un grafo (con dimostrazione). Definizione di Grafo completo ed esempi. Definizione di cammino e circuito. Grafo connesso. Definizione di cammino euleriano, definizione di circuito euleriano. Teorema di esistenza di circuiti euleriani (senza dim.). Teorema di esistenza di cammini euleriani (senza dim.). Esempi ed esercizi. Definizione di Grafi bipariti. Esempi. Teorema di caratterizzazione dei grafi bipartiti (senza dim.). Esempi ed Esercizi. Esempi: grafi bipartiti completi. Grafi PLANARI. Esempi.
19.12.2022 (+3h= 84): GRAFI: Ripasso definizione grafo Planare Teoremi di Kuratowski di caratterizzazione dei grafi planari (senza dim.). Esempi ed Esercizi. Definizione di ALBERO e caratterizzazioni equivalenti.Esempi. Teorema di esistenza di un albero con determiante valenze (senza dim.). Esempi ed Esercizi su alberi e grafi, sull'esistenza di alberi e grafi con determinate valenze. Esercizi su Grafi: grado, cammino euleriano, circuito euleriano, cammino hamiltoniano, bipartito planare. Esercizi su gruppo di permutazione: ordine, prodotti di cicli, inversa, pari e dispari, sottogruppo generato ordine degli elementi e descrizione.
20.12.2021: Esercizi di ricapitolazione sul corso. Esercizi su alberi e grafi, sull'esistenza di alberi e grafi con determinate valenze. Esercizi su Grafi: grado, cammino euleriano, circuito euleriano, cammino hamiltoniano, bipartito, planare. Esercizio su matrici, su gruppi ciclici, su anelli elementi invertibili e divisori, su sistema di congruenze, potenza e congruenze, strutture algebriche.

DONATELLA IACONO