Donatella Iacono

Matematica Discreta 2020/2021 (M-Z)

Corso di Laurea in Informatica e Tecnologia per la Produzione del Software, Corso B, M-Z

Inizio lezioni 5 Ottobre 2020 Aula Magna, piano terra, Dipartimento di Informatica. Orario lezioni:Lunedi 9:00-11:15, Martedi 9:00-10:30, Giovedi 9:00-11:15.

Fine lezioni 21 Dicembre 2020

Per partecipare alle lezioni in presenza è necessario prenotarsi. Maggiori Informazioni.

Programma PROVVISORIO del corso

(Il programma deifnitivo e dettaglaito è l'unione degli argomenti elencati sotto nel Diario delle Lezioni).

Ricevimento

Per i prossimi orari di Ricevimento studenti consultare la pagina home.

Esami:

La prenotazione agli appelli È OBBLIGATORIA mediante il sistema ESSE3 nei tempi stabiliti. NON si accettano prenotazioni via mail, ne tantomeno prenotazioni dopo i termini stabiliti. Portare obbligatoriamente un documento di validità, una penna e se serve una calcolatrice (non si può usare quella del cellulare). La durata della prova è 2 ore. È sconsigliata vivamente la partecipazione all' esame a chi non ha studiato (NON si viene a vedere come è ne tantomeno a tentarlo). Gli studenti che hanno superato la prova e vogliono accettare il voto, devono farlo entro i termini stabiliti su Esse3. Chi non accetta il voto può ripetere la prova in uno qualsiasi degli appelli successivi, perdendo ovviamente la prova precedente (questo vale per chi non accetta il voto per proprio volere, per errore, per dimenticanza, perché non sa usare Esse3, etc. ).

Pagina web degli Esami

Leggere attentamente e comprendere prima di presentarsi agli esami le Regole e faq.

Testi consigliati

Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati. Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:

G.M. Piacentini Cattaneo:"Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI

M.G. Bianchi, A. Gillio: "Introduzione alla Matematica Discreta", ed. McGRAW-HILL

K. H. Rosen, "Discrete Mathematics and Its Applications", McGraw-Hill Editore, Settima Edizione (2012) (in Inglese).

A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI

Appunti.

È stato attivato un canale su telegram https://telegram.me/MD20MZ, per facilitare e velocizzare la comunicazione di avvisi. Tutte le notizie verranno comunque pubblicate sulla pagina web del docente.

Esercizi

Esercizi 8 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su insiemi e logica)
Esercizi 12 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su logica e funzioni)
Esercizi 13 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su funzioni)
Esercizi 15 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su funzioni)
Esercizi 19 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su principio di induzione, logica)
Esercizi 20 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su successioni)
Esercizi 22 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su principio di induzione)
Esercizi di recupero su prodotti e potenze. (alcuni visti a lezione, su prodotti, potenze, frazioni)
Esercizi 27 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su combinatoria)
Esercizi 29 Ottobre 2020. (alcuni visti a lezione, su relazioni)
Esercizi 2 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione, su relazioni)
Esercizi 3 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su divisioni e principio induzione con divisione)
Esercizi 5 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su MCD e relazioni con divisione)
Esercizi 10 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su equazioni diofantee)
Esercizi di riepilogo sulla prima parte del corso (In tutte le tracce c'e' un esercizio sui sistemi di congruenze lineari che non va svolto, impareremo a svolgerlo nelle prossime lezioni dopo la pausa esoneri.) Per simulare una prova basta scegliere una traccia, svolgerla in 2 ore usando solo penna e calcolatrice.
Esercizi 12 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su congruenze)
Altri esercizi sulla prima parte del corso . Per una prova di autovalutazione basta scegliere una traccia, svolgerla in 2 ore usando solo penna e calcolatrice.
Esercizi 23 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su congruenze lineari)
Esercizi 24 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su sistemi di congruenze lineari)
Esercizi 26 Novembre 2020. (alcuni visti a lezione su strutture algebriche)
Esercizi 1 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su invertibili e inversi: nuova versione con 5 al posto di 15)
Esercizi 3 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su gruppi ciclici e sottogruppi)
Esercizi 3 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su gruppi di permutazione) (tolto f nell'Esercizio 3)
Esercizi 9 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su gruppo di permutazioni)
Esercizi 11 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su anelli e matrici)
Esercizi 15 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su matrici)
Esercizi 16 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su matrici)
Esercizi 17 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione su grafi e alberi) (nuova versione senza incidenti/adiacenti)
Esercizi 21 Dicembre 2020. (alcuni visti a lezione di ricapitolazione)

Esercizi di riepilogo sulla seconda parte e Esempio Prova di autovalutazione. Per simulare una prova di autovalutazione basta scegliere una traccia, svolgerla in 2 ore usando solo penna e calcolatrice. ATTENZIONE: dall'Anno Accademico 2017/2018 i reticoli non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui reticoli); dall'Anno Accademico 2020/2021 i numeri complessi non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui numeri complessi).

Raccolta Prove passate

Esami passati. ATTENZIONE: dall'Anno Accademico 2017/2018 i reticoli non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui reticoli); dall'Anno Accademico 2020/2021 i numeri complessi non fanno più parte del Programma del Corso (quindi saltare l'esercizio sui numeri complessi). Nel tempo il corso è cambiato molto poco, ma qualche cambiamento c'è stato, quindi le tracce più recenti sono più simili ad una prova d'esame. (All'appello del 12 Gennaio 2016, uno studente mi ha fatto giustamente notare che nel titolo manca una i....dal 2011: tutta colpa del copia e incolla! Anche se perseverare è diabolico.... lasciamo questo errore come segno di riconoscimento.)

Diario delle Lezioni

05.10.2020 (2h) : Presentazione del corso, orario lezioni, libri di testo, programma, esami, regole di base. Introduzione al linguaggio e simbolismo matematico: Quantificatori Ogni ed Esiste. Teoria elementare degli INSIEMI. Simbolo di appartenenza. Tre descrizioni per un insieme: elenco elementi, proprietà caratterizzante, Diagrammi di Venn. Inclusione, inclusione propria, uguaglianza. Esempi. Introduzione al linguaggio e simbolismo matematico: Quantificatori Ogni ed Esiste. Esempi.
06.10.2020 (+2=4h) : Ripasso simboli. Quantificatori Ogni ed Esiste. Operazione di somma e prodotto negli insiemi numerici: Commutatività, associatività, esistenza elemento neutro. Unione, Intersezione. Proprietà Esempi ed Esercizi. Definizione di complementare e leggi di De Morgan (con dimostrazione). Insieme Differenza. Prodotto cartesiano, Insieme delle Parti. Esempi ed Esercizi.
08.10.2020 (+3=7h) : LOGICA: Definizione di proposizione, negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. Esempi ed Esercizi. Equivalenza di proposizioni. Tavole di Verità. Esempi ed Esercizi. Esercizi: su leggi di De Morgan. Esercizi di logica: Tabelle di verità con tre proposizioni. Proposizioni logiche, vere, false e negazioni.
12.10.2020 (+3h=10h): FUNZIONI: Definizione di funzione, insieme di partenza e insieme di arrivo. Funzioni uguali. Immagine di una funzione e di un sottoinsieme. Controimmagine di un sottoinsieme. Funzione identità. Funzioni costanti. Esempi ed Esercizi su immagini e controiimmagini. Proprieta' di immagine e controimmagine rispetto unione e intersezione. Esercizi di logica: Tabelle di verità con tre proposizioni. Proposizioni logiche, vere, false e negazioni.
13.10.2020: (+5h=15h): Grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione di funzione e proprietà. Esempi ed esercizi su funzioni, iniettive, suriettive, biettive, composizioni. Esercizio: dimostrazione che la composizioni di funzioni iniettive è iniettiva; controimmagine dell'unione è l'unione delle controimmagini. Esempi ed Esercizi su logica: proposizioni logiche, vere, false e negazioni.
15.10.2020: (+3h=18h): Funzione inversa di funzioni biettive e proprietà. Determinazione della funzione inversa. Inversa della composizione di funzione, con dimostrazione. Esercizi su funzioni: iniettive, suriettive, biettive, inversa. Esempi ed Esercizi. CARDINALITÀ: Cardinalità di un insieme. Insiemi Equipotenti. Insiemi finiti. Esempi. Cardinalità minore o uguale. Caratterizzazione di insiemi finiti. Se insiemi stessa cardinalità finita, allora funzione è iniettiva se e solo se è suriettiva (senza dim.). Insiemi infiniti, difinizioni equivalenti. Esercizio: dimostrazione che la composizioni di funzioni suriettive è suriettiva. Esercizi su funzioni: iniettive, suriettive, biettive, composizioni, inversa.
19.10.2020: (+3h=21h): PRINCIPIO di INDUZIONE: Principio di induzione e formulazioni equivalenti. Esempi. Cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme finito (dim.1 usando il principio di induzione). Esempi e controesempi ed esercizi. Esercizi su logica: tavole di verità, proposizioni logiche, vere, false e negazioni. Esercizi su funzioni: iniettive, suriettive, biettive, composizioni, inversa.
20.10.2020: (+2h=23h): SUCCESSIONI. Definizioni ed esempi. Successioni ricorsive ed esempi: numeri fattoriali, progressione aritmetica, progressione geometrica. Formula chiusa di successioni ricorsive. Esempi ed Esercizi. Numeri di Fibonacci: definizione ricorsiva come modellazione della popolazione di conigli, formula ricorsiva e formula chiusa (senza dim.). Torri di Hanoi: definizione come gioco.
22.10.2020: (+3h=26h): Torri di Hanoi: formula ricorsiva e formula chiusa (con dimostrazione). Simbolo di sommatoria e proprietà. Esercizio su principio di induzione con simbolo di sommatoria. Cardinalità dell'unione di insiemi finiti. Caso generale di insiemi disgiunti. Cardinalità dell'unione di insiemi finiti: Principio di inclusione-esclusione caso con intersezioni non vuote per due e tre insiemi (con dimostrazione). Cardinalita' del prodotto di insiemi finiti. Esempi.
26.10.2020: (+3h=29h): Introduzione a COMBINATORIA: Scegliere k elementi in un insieme con n elementi. Descrizione dei 4 casi: scelta di k elementi senza ripetizione (k minore o uguale ad n) ordine importante/ ordine non importante; scelta di k elementi con ripetizione ordine importante/ ordine non importante. Caso 1) =SENZA ripetizioni. Caso 1) a) =SENZA ripetizioni ordine importante: Disposizioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione, calcolo di D(n,k), esempi ed esercizi. D(n,k) calcola il numero di applicazioni iniettive da un insieme di cardinalità k ad uno di cardinalità n (con dim.). D(n,n)=n! come numero di ordinamenti di n oggetti (permutazioni). D(n,n) calcola il numero di applicazioni biettive tra insiemi di cardinalità n (con dim.). Esercizi ed Esempi. Caso 1) b) =SENZA ripetizioni ordine non importante: Combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione e calcolo del coefficiente binomiale. Sottoinsiemi di cardinalità k in un insieme di cardinalità n. Proprieta'. Triangolo di Tartaglia e legame con i coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton (senza dim.). Seconda dimostrazione della cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito, usando la formula di Newton con dim.). Esercizi su principio di induzione.
27.10.2020: (+2h=31h): Ripasso Caso 1): scelta di k elementi senza ripetizione in un insieme con n elementi (k minore o uguale ad n) ordine importante/ ordine non importante. Caso 2) Scelta di k elementi in un insieme con n elementi con ripetizione ordine importante/ ordine non importante. Caso 2a) =con ripetizioni ordine importante: Definizioni di disposizioni con ripetizioni di n oggetti di classe k e calcolo esplicito. Cardinalità dell'insieme di funzioni tra due insiemi finiti. Esempi ed Esercizi. Caso 2b) =con ripetizioni ordine non importante: Combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe k. Calcolo (senza dim). Esempi ed Esercizi. Esercizi su Combinatoria.
29.10.2020: (+3h=34h): Esercizi su Combinatoria. RELAZIONI: Definizioni di relazione su un insieme. Esempi. Relazione vuota, totale, identità. Relazione di ordine parziale: Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva. Esempi ed Esercizi. Relazioni di equivalenza: Riflessiva, Simmetrica, Transitiva. Esempi ed Esercizi su relazioni di ordine e di equivalenza. Esempio a-b multiplo di n.
30.10.2020: (+2h=36h): Esercizi su Combinatoria: coefficiente coefficiente binomiale, disposizioni, combinazioni, numero di funzioni. Esercizi su principio di induzione, successioni definite per ricorrenza. Esercizi su funzioni: iniettive, suriettive, biettive, composizioni, inversa.
02.11.2020: (+3h=39h): Ripasso relazioni: relazione di ordine parziale. Insiemi parzialmente ordinati e insiemi totalmente ordinati. Esempi. Ripasso relazioni: relazione di di equivalenza. Definizione di classe di equivalenza. Esempi. Teorema sulle proprieta' delle classi di equivalenza (con dimostrazione). Definizione di PARTIZIONE di un insieme. Teorema le cassi di equivalenza definiscono una partizione e viceversa (senza dimostrazione). Definizione di insieme quoziente. Esempi su relazioni di equivalenza, classi insieme quoziente. Esempio a-b multiplo di n, classi di equivalenza. Esercizi su relazioni di equivalenza e classi.
03.11.2020 (+2h=41): NUMERI INTERI. Definizione di divisore e multiplo. Proprietà e osservazioni. Divisibilità di ogni combinazione lineare (con dimostrazione). Teorema della divisione in Z: esistenza ed unicità del quoziente e resto (senza dimostrazione). Esempi di divisioni con resto in tutti i casi. Definizione di un massimo comun divisore e definizione di MCD. Definizione di un minimo comune multiplo e di mcm. Esercizio su induzione con divisione.
05.11.2020 (+3h=44): Ripasso definizione di divisore, MCD e Teorema combinazione lineare. Proprietà di MCD. Ripasso definizione di un minimo comune multiplo e di mcm. Teorema: esistenza del MCD e algoritmo di Euclide per la sua determinazione e Identità di Bezout (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi. Esercizio su induzione con divisione. Esercizio su relazione di equivalenza con divisione e classi di equivalenza.
09.11.2020 (+3h=47): NUMERI PRIMI. Definizione di numeri primi. Definizioni equivalenti (senza dimostrazione) e proprietà. Teorema Fondamentale dell'aritmetica: esiste unica fattorizzazione in potenze di primi distinti (dimostrato solo l'esistenza della fattorizzazione). Esempi. Applicazione della fattorizzazione per trovare divisori di un numero: scrittura esplicita e calcolo di quanti sono i divisori. Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del MCD. Esercizi su MCD e Identità di Bezout. Teorema esistenza infiniti numeri primi (con dimostrazione). Crivello di Eratostene per trovare numeri primi e metodo di Fattorizzazione Esercizio su relazione di equivalenza con divisione
10.11.2020 (+2h=49): EQUAZIONI DIOFANTEE: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dim.). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una equazione diofantea (visto solo che sono soluzioni). Esempi ed Esercizi. Esercizi su equazini diofantee. Esercizio su relazione di ordine, di equivalenza.
12.10.2018 (+3h=52): CONGRUENZE modulo n >1. Ripasso della definizione della relazione di congruenza: relazione di equivalenza. Descrizione classi resto, descrizione quoziente. Descrizione di alcune proprietà: somma, moltiplicazione, divisione dei coefficienti, riduzione del modulo. Piccolo teorema di Fermat (senza dim.). Teorema di Fermat (enunciato). Per i più curiosi: un po' di storia del teorema e un link un po' meno matematico Definizione della funzione di Eulero. Piccolo teorema di Fermat (senza dimostrazione). Esempio di calcolo di potenze modulo n. Criteri di divisibilità per: 2,3,5.
16-20 Novembre pausa lezioni. Prossima Lezione Lunedi 23 Novembre.
23.11.2020 (+3h=55): Ripasso congruenze: congruenza, resto, somma, moltiplicazione, divisione dei coefficienti. Piccolo teorema di Fermat. Piccolo teorema di Fermat Scrittura dei numeri in base n. Esempio in base 10 e base 2. Criteri di divisibilità per: 2,3,5,9. CONGRUENZE LINEARI: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una congruenza lineare (usando le equazioni diofantee), descrizione delle soluzioni non congruenti modulo n. Proprietà. Esempi ed Esercizi.
24.11.2020 (+3h=57): Ripasso congruenze lineari: definizione, esistenza soluzione, descrizione soluzioni. Proprietà. Esempi ed Esercizi. SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI: definizione ed esempi. Teorema riduzione dei coefficiente dell'incognita ad 1, nel caso di esistenza di soluzione per ogni congruenza (con dimostrazione). Teorema Cinese dei Resti: esistenza ed unicità della soluzione modulo N (dimostrazione solo dell'esistenza della soluzione). Esempi ed Esercizi sui sistemi di congruenze.
26.11.2020 (+3h=60): STRUTTURE ALGEBRICHE: Definizione di struttura algebrica, operazione. Esempi. Operazione associativa: esempi e esercizi. Elemento neutro: esempi e esercizi. MONOIDI: definizione, esempi, monoide delle parole. Definizione di operazione commutativa ed esempi. Esercizi su strutture algebriche. Esercizi su congruenze lineari.
30.11.2020 (+3h=63): Ripasso regole esami e corso. Esercizi di logica. Esercizi su congruenze lineari. Esercizio sui sistemi di congruenze. Ripasso: struttura algebrica, associativa, commutativa, elemento neutro. Definizione di elementi invertibili. Teorema: nei monoidi se l'inverso esiste è unico (con dim.) Esempi su invertibili. GRUPPI: definizione, esempi, gruppi abeliani e non abeliani. Esempi. Relazioni di equivalenza compatibili con strutture algebriche. Teorema della struttura algebrica indotta sull'insieme quoziente (senza dimostrazione). Esempio fondamentale 1: relazione di congruenza modulo n (maggiore o uguale a 2) su Z compatibile con la somma : (Z_n,+). Gruppo abeliano (Z_n, +) ed esempi numerici. Esempio fondamentale 2: relazione di congruenza modulo n (maggiore o uguale a 2) su Z compatibile con il prodotto: (Z_n, .). Monoide commutativo (Z_n, .). Esempio numerico. Esercizio su strutture algebriche associative.
01.12.2020:(+2h=65): Esercizi su strutture algebriche associative, commutative, elemento neutro, invertibili. Ripasso definizione di gruppi: definizion e esempi. Ordine di un gruppo: definizione ed esempi. Monoide commutativo (Zn,.): esempi. Definizione e determinazione degli elementi invertibili in (Zn,.) (con dimostrazione). Gruppo abeliano: (Zp*,.) con p primo è un gruppo abeliano (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi sugli inversi in (Zp*,.). Esercizi su strutture algebriche associative, commutative, elemento neutro, invertibili.
03.12.2020:(+3h=68): SOTTOGRUPPI: definizioni. Esempi banali. Teorema di Lagrange per i sottogruppi (senza dimostrazione). Sottogruppo ciclico generato da un elemento: insieme delle potenze (multiplo) di un elemento. Esempi nei gruppi moltiplicativi con le potenze e nei gruppi additivi con i multipli. Esempi. Ordine o periodo di un elemento. Ordine degli elementi nei gruppi finiti. Esempi. Proprietà delle potenze di un elemento in realazione al suo ordine. Esempi. GRUPPI CICLICI definizione ed esempi. Proprieta' dei gruppi ciclici: sono abeliani, formula per l'ordine degli elementi nei gruppi ciclici finiti (senza dim.). Descrizione dei generatori. Esempi in (Z_n,+) e (Zp*,.). Esempi ed Esercizi su gruppi ciclici, generatori, ordini di elementi.
03.12.2020 recupero (+2h=70): Esercizi su strutture algebriche associative, commutative, esistenza elemento neutro, invertibili. Esempio di gruppo non commutativo: GRUPPO SIMMETRICO o GRUPPO di PERMUTAZIONI. Definizione di gruppo simmetrico. Notazione degli elementi, degli inversi e della composizione. Esempi. Definizione di ciclo. Ogni ciclo corrisponde ad una permutazione.
10.12.2020 (+3h=73): Esercizi su strutture algebriche associative, commutative, esistenza elemento neutro, invertibili. Esercizio su gruppi ciclici, generatori, ordini di elementi. Ripasso: GRUPPO SIMMETRICO:Notazione degli elementi, degli inversi e della composizione, ordine, cicli.Teorema: Ogni permutazione può scriversi come ciclo o prodotto di cicli disgiunti (no dim.). Definizione di trasposizione. Teorema: ordine di una permutazione(no dim.). Esempi Teorema: Ogni ciclo può essere scritto come prodotto di trasposizioni (con dim.) e quindi ogni permutazione può essere scritta come prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e dispari. Esempi ed Esercizi. ANELLI: Definizione di anello, di anello unitario, di anello commutativo unitario. Esempi (Z,+,.),(Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.).
11.12.2020 recupero (+3h=76): Esercizio su strutture algebriche: esistenza elemento neutro e invertibili. Esercizio su gruppi di permutazioni, ordine, cicli, parità, sottogruppo generato e ordine elementi. ANELLI: Ripasso definizione di anello, di anello unitario, di anello commutativo unitario. Definizione di divisori dello zero e di elementi invertibili. Esempi in (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Teorema: se un elemento e' invertibile allora non e' un divisore dello zero (con dimostrazione). Negli anelli unitari finiti, ogni elemento o e' divisore dello zero o e' invertibile (senza dim.). Divisori dello zero ed invertibili in (Zn,+,.). Esempi ed Esercizi su divisori dello zero e su invertibili negli anelli. Calcolo dell'inverso. Definizione di CAMPO. Esempi. MATRICI: Definizione di matrice e dell'insieme Mat_mxn(K) delle matrici di ordine mxn a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Definizione della matrice IDENTITA' e di matrice TRASPOSTA. Matrici quadrate Mat_n(K) . Definizione del gruppo abeliano (Mat_mxn(K), +) delle matrici di ordine mxn a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Esempi di matrici ed esempi di somma.
15.12.2020 (+2h=78): Esercizio su divisori dello zero, su invertibili negli anelli e calcolo dell'inverso. Ripasso definizione matrice. Prodotto Matrice per uno scalare (numero). Definizione di matrici moltiplicabili. Definizione di PRODOTTO di MATRICI righe per colonne. Esempi ed esercizi. ANELLO delle MATRICI: (Mat_n(K), +, .) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .), anello non commutativo unitario. MATRICE INVERTIBILE: Definizione di matrice invertibile. Definizione di DETERMINANTE (di una MATRICE QUADRATA). Esempi ed Esercizi sul calcolo di determinanti. Teorema: una matrice quadrata a coefficienti in un campo K è invertibile se e solo se il determinante è non nullo (senza dimostrazione). Definizione di COMPLEMENTO ALGEBRICO di un elemento di una matrice. Definizione e calcolo della MATRICE INVERSA, usando i complementi algebrici. Esempi ed Esercizi.
16.12.2020 (+3h=81): Ripasso calcolo della MATRICE INVERSA. Esercizi su inversa, prodotto, determinante. GRAFI: definizione di grafo, esempi. Disegno di un grafo. Esempi. Isomorfismo di grafi. Esempi. Grado o Valenza di un vertice. Esempi. Teorema delle strette di mano: formula che lega il numero dei lati ai gradi dei vertici (senza dimostrazione). Numero di vertici dispari in un grafo (con dimostrazione). Grafo completo ed esempi. Definizione di cammino e circuito (o ciclo). Grafo connesso. Definizione di cammino euleriano, definizione di circuito euleriano. Teorema di esistenza di circuiti euleriani (senza dim.) . Teorema di esistenza di cammini euleriani (senza dim.) . Esempi ed esercizi.
17.12.2020 (+3h=84): GRAFI: Ripasso cammini eulerianie circuiti euleriani. Cammini Hamiltoniani. Esempi. Grafi bipariti. Esempi. Teorema di caratterizzazione dei grafi bipartiti (senza dim.). esempi ed Esercizi. Esempi: grafi bipartiti completi. Grafi PLANARI. Esempi grafi K5 e K3,3. Teoremi di Kuratowski di caratterizzazione dei grafi planari (senza dim.). Esercizi. Definizione di ALBERO. Teorema di caratterizzazione degli alberi (senza dim.). Esempi. Teorema di esistenza di un albero con determiante valenze (senza dim.). Esempi ed Esercizi su alberi e grafi e sull'esistenza di alberi e grafi con determinate valenze.
21.12.2020 (+2h=86) Esercizi di ricapitolazione sul corso. Esercizi su: grafi, alberi, matrici, teorema cinese dei resti, gruppo di permutazione, principio di induzione, strutture algebriche. That's it!
Martedi 22 Dicembre, Aula Magna ore 9:00-11:00, seconda prova.

DONATELLA IACONO